3.2.3. Проблема истинности

Логика - это наука, исследующая механизм интеллектуальной деятель­ности человека и имеющая целью получение истинного знания об окружающем мире. В связи с этой гносеологической установкой она оперирует понятиями «правильного мышления» и «истинностного значения».

«И с т и н н о с т н о е значение - одна из возможных характеристик вы­сказывания с точки зрения соответствия его описываемому фрагменту действи- тельности».¹Число истинностных значений в различных логических системах различно. «Правильное мышление» основано на логике. Именно логика, умело подобранная в соответствии с предметом рассмотрения, делает мысли адекват­ными реальности.

Логика - элемент самой природы. Прежде чем она «поселилась» в голо­вах людей и стала наукой о «правильном мышлении» (т.е. соответствующим действительности), она уже изначально присутствовала в мире вне нас, вне на­шего мышления. Логика как наука возникает позднее и стремится к теоретиче­ской реконструкции действительности в уме и мышлении. Подобно тому как наука простилась с мечтой о единой научной картине мира, логика сегодня прощается с мечтой о создании универсальной формальной системы, охваты­вающей весь процесс мышления. Можно лишь говорить о большем или мень­шем соответствии формализма человеческому мышлению.

«Правильное» мышление, чтобы быть истинным, должно быть адекват­ным по числу возможных истинностных значений. Только в таком случае оно будет соответствовать действительности, которая не всегда «умещается» в два логических значения.

Если допускается, что любое высказывание о мире является либо истин­ным, либо ложным, то речь идет о классической логике,двузначной или бива­лентной,в которой любое высказывание принимает одно из двух допустимых значений истинности. Если высказывание соответствует действительности, то оно является «истинным», а если не соответствует действительности, то оно - «ложно».

Двузначная логика исследует формы словесно-логического мышления и в этом смысле «управляет» разговорным языком, устанавливая причину и суть происходящего. Она исходит из определенности и завершенности опыта. Это дает ей право судить о том, что истинно, а что ложно, например, математиче­ские доказательства двузначны («доказано» - «не доказано»). Она прочно обос­новалась в юридической практике, в точных и экономических науках. Однако в ряде ситуаций двузначная логика превращается в «прокрустово ложе» для мышления и требует новых разрешающих способностей ума. Трудно предста­вить себе «демократические» выборы по схеме «за» и «против». «Логика изби­рателя» - трехзначна (третье значение - «воздержался»).

Допущение или недопущение двузначности является демаркационной линией между классическойи неклассическойлогикой. Последняя основывает­ся на допущении трех (истинно, ложно и неопределенно) и более значений ис­тинности. В многозначной логике любое высказывание может принимать одно из п (п>2)значений. Например, модальная логика расширяет сферу традицион­ных логических исследований за счет операторов «возможно» и «необходимо».

Условия истинности сложных суждений, состоящих из про­стых категорических суждений, основываются на допущении двузначности и задаются при помощи таблиц истинности.

1. Таблица истинности для конъюнкции (см. рис. 35):

р, ^ - пропозициональные переменные, обозначающие простые суждения. То есть р - (8 есть Р) и ^ - (8 есть Р). Буква "И" оз­начает истину, а буква "Л" означает ложь. Каждой строке таблицы соответствует сложное суждение.

С о е д и н и т е л ь н ы е (конъюнктивные) суждения истинны тогда, ко­гда истинны все входящие в него простые суждения (члены конъюнкции). Конъюнкция ложна, если ложен хотя бы один из ее членов.

Таблицы истинности р	а	р & ^
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Рис. 35 р	а	р Vа
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

2. Таблица истинности для дизъюнкции:

а) с л а б а я дизъюнкция истинна, когда истинен хотя бы один из членов дизъ­юнкции, и ложна, когда все ее члены - ложны (это показано на рис. 36);

Рис. 36

Рис. 37

3.3. Таблица истинности для импликации (см. рис. 38):

И м п л и к а т и в н о е суждение истинно во всех случаях, кроме одного, когда анте­цедент - истинен, а консеквент - ложен. То есть в случае, когда причина возникла, а следствие не наступает, вся импликация является ложной.

р	а	р ^ а
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Рис. 38 б) с и л ь н а я дизъюнкция истинна толь­ко при разных логических значениях членов дизъюнкции и ложна при оди- наковых.Это видно из рис. 37. р	а	р V ^
И	И	Л
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

3.4. Таблица истинности для эквиваленции (см. рис. 39):

р	а	р = а
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

Э к в и в а л е н т н ы е суждения являют­ся равнозначными. Поэтому они истинны при равных значениях членов эквивален- ции и ложны - при разных.

Рис. 39

3.5.Таблица истинности для отрицания (см. рис. 40):

«Отрицание» - унарный союз.

Если исходное суждение истинно, то его отрицание - ложно, и наоборот.

Рис. 40

Сложное суждение может не только состоять из нескольких простых су­ждений, но и включать в себя несколько логических союзов: ⁽р & ф ^-р.

р	1р
И	Л
Л	И

Чтобы установить истинность такого суждения, необходимо установить глав­ный логический союз, указывающий на вид суждения, и построить соответст­вующую таблицу истинности (см. рис. 41):

И	И	И	И	данном случае - импликация)
И	Л	Л	И	всегда находится в последней
Л	И	Л	И	колонке таблицы.
Л	Л	Л	И

Рис. 41

Итак,

^ сложные суждения образуются из простых;

^ вид сложного суждения зависит от логического союза;

• логические союзы выражают различные реальные взаимосвязи;

• логический анализ сложных суждений связан с проблемой истинности;

• истинность сложных суждений устанавливается при помощи двузначных таблиц истинности.

Контрольные вопросы

1. Какие суждения называются сложными? Какую роль они играют в мыш­лении?

2. Как они образуются?

3. Что означают логические союзы? Связаны ли они с союзами естественно­го языка?

4. Какие логические союзы используются в логике?

5. Сколько союзов может быть в сложном суждении?

6. Как строится таблица истинности?

7. Чему она служит?

Упражнения

1. Определите вид следующих сложных суждений и определите их истин­ность при помощи таблиц истинности:

1. «Была без радостей любовь, разлука будет без печали». (М.Ю. Лер­монтов).

2. Редакция вправе увеличить или уменьшить размер гонорара.

3. Банан - пищевое растение и источник доходов для экспортирующих стран.

4. Согласно легенде, право считаться родиной Гомера оспаривали семь городов: Смирна, Хиос, Колофон, Саламин, Родос, Аргос и Афины.

5. Некоторые продукты используются в пищу в соленом, вареном, кон­сервированном и свежем виде.

6. Он сейчас находится в Минске или Петербурге.

7. Христианство и ислам являются разными религиями и мировоззре­ниями.

8. «Ева - кость от кости и плоть от плоти Адама».

9. «Суждены нам благие порывы, но свершить ничего не дано».

10. «Кричали женщины «ура» и в воздух чепчики бросали».

11. Если данная геометрическая фигура - треугольник, то сумма ее внутренних углов равна 180°.

12. «Кукушка хвалит петуха за то, что хвалит он кукушку».

13. Любой человек знает стихотворение или хотя бы имя А.С.Пушкина.

14. Юг, Север, Восток и Запад - основные части света.

15. Неправда, что он готовился к зачету и может его сдавать.

16. «Лебедь рвется в облака, рак пятится назад, а щука тянет в воду».

17. К рассмотрению темы «суждение» нельзя приступать, если не разо­брался с темой «понятие».

18. Тамара - моя лучшая подруга и редкой души человек.

19. Саша и Савва - победители авторалли.

20. Греческий миф является историей, религией и культурой одновре­менно.

2. Определите логическое значение р, если:

1. р & ^ - ложно, а ^ - истинно.

2. р V ^ - истинно, а ^ - ложно.

3. р V ^ - ложно, а ^ - истинно.

4. р ^ ^ - истинно и ^ - истинно.

5. р = ^ - истинно, а ^ - ложно.

6. р & ^ - истинно, и ^ - истинно.

   3. Каково логическое значение если:

      1. р & ^ - ложно, и р - ложно;

      2. р & ^ - ложно, а р - истинно;

      3. р V ^ - истинно, а р - ложно;

      4. р V ^ - ложно, и р - ложно;

      5. р ^ ^ - ложно, а р - истинно;

      6. р = ^ - истинно, а р - ложно.

   4. Постройте таблицы истинности для следующих выражений: 1 (р ^ (р V ^)); 1 р & 1 (р & ^) ^ р; 1 р V

   5. Выделите сложные суждения из следующего содержания:

«А тем временем Фандорин сидел на циновке и был абсолютно неподви­жен. Колени ровно расставлены, тело расслаблено, кисти вывернуты ла­донями вверх. Взгляд коллежского асессора был устремлен на собствен­ный живот, если точнее - на нижнюю пуговицу виц-мундира. Где-то там, под золотым двуглавым орлом, располагалась магическая точка тандэн, источник и центр духовной энергии. Если отрешиться от всех помыслов и всецело отдаться постижению самого себя, то в душе наступит просвет­ление, и самая головоломная проблема предстанет в виде простом, ясном и разрешимом. Эраст Петрович изо всех сил старался отрешиться и про­светлеть, что очень непросто и достигается лишь путем долгой трениров­ки. Природная живость мысли и проистекающая отсюда нетерпеливость делали упражнение в самоконцентрации особенно трудным. Но, как ска­зал Конфуций, благородный муж идет не тем путем, что легок, а тем, что труден, и потому Фандорин упорно всматривался в проклятую пуговицу, дожидаясь результата». (Борис Акунин. Смерть Ахиллеса. - М., 2000, с. 21-22).