attachments_22-06-2012_15-58-06 / Метод указания к выполнению КР

R2 = R3 = R4 = R5 =10 Ом, E1 =10 B; J06 =1 A.

Решение: 1. Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником напряжения E1. Разорвем ветвь с источником тока. Токи в цепи (рис.1.10) опреде-

лим методом преобразований.

Вычислим сопротивление, эквивалентное сопротивлениям R3, R4 , R5:

R354 = (R3 ++ R5 )+ R 4 = 6,667 Ом, R3 R5 R 4

тогда

I1' = I'2 = E1/(R 2 + R354 ) =10/(10 + 6,667) = 0,6 A.

Определим напряжениеU'ab

U'ab = I1' R354 = 4 B,

тогда

I'4 = U'ab/R 4 = 0,4 A,

I3' = −I5' = Uab /(R3 + R5 ) = 0,2 A.

2. Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником тока J06 . Закоротим ветвь, где находится E1(это равносильно равенству нулю внутреннего

сопротивления данного источника) (рис.1.11).

Сопротивления включены параллельно, заменим их сопротивлением

R 24 = R 2R 4/(R 2 + R 4 ) = 5 Ом.

Определим токи I3'' и I5'' по правилу плеч:

I3'' = J06 R5/(R 24 + R3 + R5 ) = 0,4 A,

I5'' = J06 (R 24 + R3 )/(R 24 + R3 + R5 ) = = 0,6 A.

Аналогично определим токи I'2' и I'4' :

I'2' = I3'' R 4/(R 4 + R 2 ) = 0,2 A, I'4' = −I3'' R 2/(R 4 + R 2 ) = −0,2 A.

Для узла 1 составим первое уравнение Кирхгофа и определим ток I1'' :

I1'' = I'2' − J06 = −0,8 A.

3. Найдем искомые токи в ветвях схемы (см.рис.1.9) как алгебраическую сумму частичных слагающих токов:

I1 = I1' + I1'' = −0,2 A,

I2 = I'2 + I'2' = 0,8 A,

I3 = I3' + I3'' =0,6 A,

I4 = I'4 + I'4' = 0,2 A,

I5 = I5' + I5'' = 0,4 A.

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей:

E1I1 + J06 (I2R 2 + I3R3 ) = I22R 2 + I32R3 + I24R 4 + I52R5 ,

где I2R 2 + I3R3 – напряжение на зажимах источника тока J06 :

− 0,2 10 +1(0,8 10 + 0,6 10) = 0,82 10 + 0,62 10 + 0,2 10 + 0,42 10 ;

PИСТ = PНАГР.

В данном случае источник тока J06 отдает энергию в схему (его мощность больше нуля):

PT = J06 (I2R 2 + I3R3 ) =14 Вт,

а источник напряжения E1 потребляет энергию (его мощность отрицательна):

PH = E1J1 = −2 Вт.

1.5. Метод преобразования

Суть метода заключается в преобразовании электрической схемы различными методами с целью уменьшения числа ветвей и узлов, а значит, и количества уравнений, определяющих электрическое состояние схемы.

Во всех случаях преобразования заданных электрических схем эквивалентными схемами другого вида необходимо выполнять условия неизменности токов и напряжений в тех частях схемы, которые не затронуты преобразованием.

Пример 5. Определить токи в ветвях схемы (рис.1.12), если

E1 = E6 = 40 B;

R1 = R6 = R5 =10 Ом;

R2 = R3 = R4 =30 Ом.

Решение. Преобразуем треугольник R 2 ,R3 ,R 4 в звезду на основании следующих формул (рис.1.13):

Обозначим последовательно включенные сопротивления

R 246 = R 6 + R 24 = 20 Ом

и сопротивления R345 = R5 + R34 , объединим две

ветви (od иoc ), включенные параллельно, в одну. Общее сопротивление:

Общий источник напряжения:

Преобразованная схема показана на рис.1.14:

Определим напряжение Uod :

Uod = I1R0 − E0 = 2 10 − 20 = 0 B.

Напряжение Uod на схеме (см. рис.1.13) позволяет определить ток I5 = 0 A и ток

I6 :

I6 (R 24 + R6 ) − E6 = Ude = 0,

I6 = E6/(R 26 + R6 ) = 40/(10 +10) = 2 A.

На этой же схеме определим напряжения Uac , Uab иUcb :

Uac = I1R 23 + I5R34 = 2 10 + 0 = 20 B,

Uab = I1R 23 + I6R 24 = 2 10 + 2 10 = 40 B, Ucb = I6R 24 − I5R34 = 20 B.

Для исходной схемы (см. рис.1.12) определим токи:

I2 = Uab/R2 =1,33 A,

I3 = Uac/R3 = 0,667 A,

I4 = Ucb/R4 = 0,667 A.

На основании первого закона Кирхгофа для узла c:

I5 = I3 − I4 = 0;

для узла b:

I6 = I4 + I2 = 0,667 +1,33 = 2A.

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей для исходной схемы:

E1I1 + I6E6 = I12R1 + I22R2 + I32R3 + I34R4 + I52R5 + I62R6 или

40 2 + 40 2 = 4 10 + (1,33)2 30 +(0,667)2 30 + 4 10 +0 10, 160 =160.

1.6. Метод эквивалентного генератора напряжения (тока)

Метод позволяет привести сложную электрическую схему с произвольным числом источников электрической энергии к схеме с одним источником, что упрощает расчет.

Существуют два варианта метода: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.

1.6.1. Метод эквивалентного генератора напряжения (МЭГН)

Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы (рис.1.15, а) данным методом, необходимо:

1. Электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения, величина которого определяется напряжением на выходах разомкнутой ветви аb, а внутреннее сопротивление источника равняется входному сопротивлению пассивной электрической цепи со стороны выводов а и b при разомкнутой ветви аb. Напряжение на зажимах аb определятся любым, ранее изученным методом (рис.1.15, б). Так как для определения напряжения R H

исключается, то напряжение эквивалентного генератора называют напряжением холостого хода и обозначают Uabxx .

При определении внутреннего сопротивления источника напряжения (рис.1.15, в) необходимо ветви, содержащие источники тока, разорвать, т.е. исключить все элементы, находящиеся в таких ветвях, а источники напряжения закоротить, т.е. на месте источников напряжения включить перемычки.

2. Определить искомый ток по формуле

IH = Uabxx /(R Г + R H ).

Пример 6. Определить ток в ветви с R 4 (рис.1.16) МЭГН, если

R1 = R2 = R3 = R4 =100 Ом,

R5 = R6 =50 Ом, E1 =100 B,

J06 = 2 A.

Решение: 1. Определим ЭДС эквивалентного генератора напряжения, равную

Uabxx (рис.1.17).

Исходная схема распалась на две одноконтурные схемы, токи которых равны:

Ток в сопротивлении R3 равен нулю. Определим напряжение Uabxx :

Uabxx = I1R 2 + I3R3 + I6R5 = 0,5 100 + 0 100 + 2 50 =150 B.

2. Определим ток I4 :

I4 = Uabxx /(RГ + R4 ) =150/(200 +100) = 0,5A.

1.6.2. Метод эквивалентного генератора тока (МЭГТ)

Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы МЭГТ (рис.1.19, а), необходимо:

а) электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока; ток эквивалентного источника должен быть равен току, проходящему между выводами m и n (рис.1.19, б), замкнутыми накоротко, а внутренняя проводимость источника УГ должна равняться входной проводимо-

сти пассивной электрической цепи (рис.1.19, в) со стороны выводов m и n;

б) определить искомый ток в ветви по формуле

IH = R ГImnkз/(R Г + R H ) = YH Imnkз/(YH + YГ),

где

YH =1/R H .

Пример 7. Определить ток в ветви с R3 МЭГТ (рис.1.20), если E1 =10 B ,

R1 = R3 =10 Ом, J02 =1A.

Решение: 1. Определим ток короткого замыкания в ветви при условии замены сопротивления R3 перемычкой (рис.1.21). Используя метод наложения (см. под-

разд. 1.4), определим ток Inmkз. При воздействии только источника напряжения

E1

I'mnk3 = E1/R1 =1 A,

при воздействии только источника тока J02 получаем I''mnk3 = J02 =1 A.

Для того чтобы определить R Г , исключим из схемы источник напряжения E1 и источник тока J02 (рис.1.22):

R Г = R1 =10 Ом; YГ = 0,1Cм.

2. Определим ток I3 :

I3 = Ik3R Г/(R Г + R H ) = 2 10/(10 +10) =1A

или

I3 = Ik3YH /(YH + YГ) = 2 0,1/(0,1 + 0,1) =1A.

Указания к расшифровке типового расчета №1

Типовой расчет подготовлен с помощью ЭВМ для каждого студента индивидуально. Расшифровка исходных данных для построения исходной схемы пояснена на следующем примере.

Исходные данные варианта

1. Расположить шесть узлов цепи в указанном порядке и в соответствии с вариантом задания соединить их ветвями (рис.1.23).

2.Перерисовать полученный граф схемы, изменив расположение узлов таким образом, чтобы ветви не пересекались (рис.1.24).

3.Включить в ветви сопротивления и заданные ЭДС. Источники тока подключить параллельно соответствующим ветвям (рис.1.25).

4.Придать элементам схемы удобное расположение. Обозначить положитель-

ные направления источников ЭДС, источников тока и токов ветвей. Положительные направления определяются индексами начального и конечного узлов, к которым присоединена ветвь. Всем сопротивлениям, источникам и токам ветвей присвоить номера соответствующих ветвей (рис.1.26).

Расчет схем заключается в определении токов во всех ветвях схемы, напряжения между узлами, указанными в задании, составлении баланса мощностей в цепи, определении тока в заданном сопротивлении методом эквивалентного генератора.

Пример выполнения типового расчета №1

1.Расчет токов методом преобразования

На схеме рис.1.26 преобразуем источник тока J04 в источник напря-

жения E04 :

E04 = J04 R 4 =540 4 = 2160B,

источник тока J02 – в источник напряжения E02 :

E02 = J02 R 2 = 620 3 =1860B,

а также объединим последовательно включенные сопротивления R5 , R6

и R 4 , R3 :

R56 = R5 + R6 = 770 Ом,

R 43 = R 4 + R3 = 790 Ом.

Полученная схема показана на рис.1.27. На этой схеме объединим источники напряжения E2 и E02 :

E'2 = E2 + E02 =1860 + 500 = 2360 B.

Чтобы сделать треугольник 6-3-5 пассивным, преобразуем источник напряжения E04 в источник тока J43 :

J43 = E04 = 2160 = 2,743 A. R 43 790

Пассивный треугольник 6-3-5 преобразуем в пассивную звезду (рис.1.28 а,б),

где

Источник тока J43 преобразуем в источник напряжения E437 и E4356 :

E437 = J43R 437 = 2,734 176,86 = 483,54 B;

E4356 = J43R 4356 = 2,734 302,64 =837,42 B.

В результате этих преобразований схема будет иметь следующий вид (рис.1.29):