Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КР(заоч)-1.doc
Скачиваний:
30
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
4.99 Mб
Скачать

Электродинамика

Пример 1 Два точечных заряда изакреплены на расстояниидруг от друга. Третий зарядQ3 может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Q3, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда Q3 равновесие будет устойчивым?

Решение. Заряд Q3 будет находиться в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю. Поскольку на заряд Q3 будут действовать только кулоновские силы F31 и F32 со стороны зарядов Q1 и Q2, соответственно, то равновесие будет иметь место, если эти силы уравновешивают друг друга.

Выберем в качестве начала отсчёта точку, в которой находится заряд Q1. Обозначим расстояние между зарядом Q1 и Q3 через x. Тогда возможны три случая расположения заряда Q3 по отношению к зарядам Q1 и Q2, которые показаны на рисунке 3.8 (заряд Q3 показан положительным; если заряд Q3 отрицателен, направления сил изменятся на противоположные).

В случае а) на заряд Q3 действуют противоположно направленные силы F31 и F32, равные по величине

и ,

соответственно. Так как , и число с большим знаменателем меньше числа с меньшим знаменателем, то получаем следующую цепочку неравенств:

то есть величина силы F31 всегда больше величины силы F32 , что означает, что в случае а) равновесие невозможно.

В случае б) силы F31 и F32, действующие на заряд Q3, направлены в одну сторону. Следовательно, и в этом случае равновесие невозможно.

В случае в) на заряд Q3 действуют противоположно направленные силы F31 и F32, равные по величине

и ,

соответственно. Приравнивая эти силы, получаем уравнение для определения x:

,

откуда следуют два решения:

;

.

Очевидно, второе решение x2 не удовлетворяет физическому условию, так как . Таким образом, остаётся первое решение, причём величина зарядаQ3 не играет роли:

.

Определим теперь знак заряда Q3, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие будет устойчивым, если при смещении заряда Q3 от положения равновесия, на него начнёт действовать результирующая сила, которая стремится возвратить его в положение равновесия.

Пусть заряд Q3 положителен. Смещая его вправо на x, получаем следующее соотношение между силами

то есть сила F32, которая направлена в сторону положения равновесия, по величине меньше силы F31. При смещении этого заряда влево, т.е. при , будем иметь

,

то есть сила F32, которая направлена от положения равновесия, по величине меньше силы F31, направленной в сторону положения равновесия. Следовательно, при смещении от положения равновесия вправо или влево положительный заряд Q3 будет удаляться от него и равновесие будет неустойчивым.

Пусть теперь заряд Q3 отрицателен. Аналогично смещая его вправо или влево на x, получаем соотношения (1) и (2) между силами, действующими на заряд, но их направления будут противоположными Соотношения (1) и (2) будут теперь означать, что отрицательный заряд стремится вернуться в положение равновесия. Следовательно, положение равновесия будет устойчивым только для отрицательного заряда.

Чтобы определить величину заряда Q3, рассмотрим силы, действующие, например, на заряд Q2. Если на заряд Q2 не действуют другие силы, кроме электростатических, то равновесие заряда Q2 означает равенство сил

и ,

действующих со стороны зарядов Q1 и Q3, соответственно. Из равенства этих сил следует

откуда получаем

Если равновесие зарядов Q1 и Q2 поддерживается механическими силами, то равновесие заряда Q3 будет иметь место при любой его величине.

Ответ: от положительного заряда и от отрицательного заряда; если заряды Q1 и Q2 закреплены жёстко, то величина заряда Q3 несущественна; в противном случае при устойчивом равновесии .

Пример 2 Три точечных заряда Расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой зарядQ4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

Решение. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трёх зарядов, например Q1, находился в равновесии. Заряд Q1 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рисунок 3.9):

,

где F1, F2, F3 – силы, с которыми действуют на заряд Q1 заряды Q2, Q3, Q4, соотвественно;

F – равнодействующая сил F2 и F3.

Так как силы F и F4 направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство можно заменить скалярным:

.

Выразив F через F2 и F3 и учитывая, что , получим

.

Применив закон Кулона, и имея в виду, что , найдём

,

откуда

.

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

.

С учётом этого из формулы получим

.

Производя вычисления, находим

.

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Ответ: .

Пример 3 На тонком стержне длиной находится равномерно распределённый электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянииот ближайшего конца находится точечный заряд, который взаимодействует со стержнем с силой. Определить линейную плотность заряда на стержне.

Решение. Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q зависит от линейной плотности заряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить . При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим в стержне малый участок dr с зарядом (рисунок 3.10). Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда согласно закону Кулона

.

Интегрируя это выражение в пределах отa до l+a, получаем

,

откуда

.

Произведём вычисления:

.

Ответ: .

Пример 4 Два точечных электрических заряда инаходятся в воздухе на расстояниидруг от друга. Определить напряжённостьE и потенциал  поля, создаваемого этими зарядами в точке A, удалённой от заряда Q1 на расстояние и от зарядаQ2 на расстояние .

Решение. Результирующее электрическое поле двух зарядов в точке можно определить исходя из принципа суперпозиции полей, согласно которому поле каждого заряда не зависит от присутствия других зарядов. Поэтому напряжённость электрического поля E в точке A равна векторной, или геометрической сумме напряжённостей E1 и E2 электрических полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: (см. рисунок 3.11). Величины напряжённостей электрического поля зарядовQ1 и Q2 в воздухе ( = 1) в точке A равны:

, .

Так как заряд Q1 положителен, то вектор E1 направлен вдоль силовой линии поля от заряда, тогда как вектор E2 направлен вдоль силовой линии поля к отрицательному заряду Q2. Величину вектора E можно найти по теореме косинусов:

,

где – угол между векторами E1 и E2. Из теоремы косинусов для треугольника Q1AQ2 следует:

,

откуда

.

Следовательно, величина суммарной напряжённости поля равна

В соответствии с принципом суперпозиции потенциал результирующего поля, создаваемого двумя зарядами Q1 и Q2, равен алгебраической сумме потенциалов:  = 1 + 2. Потенциалы зарядов Q1 и Q2 в точке A равны

так что результирующий потенциал равен

Ответ:;.

Пример 5 Точечный заряд находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиуса, равномерно заряженным с поверхностной плотностью. Определить силуF, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра .

Решение. Значение силы F, действующей на точечный заряд Q, находящийся в электрическом поле, определяется по формуле

,

где E – напряжённость поля.

Напряжённость поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра можно найти, используя теорему Гаусса. Для этого окружим цилиндр коаксиальной цилиндрической поверхностью радиусом r и высотой h и замкнём её двумя основаниями S1 и S2 (рисунок 3.12). После этого рассчитаем поток вектора напряжённости электрического поля. Он может быть представлен как сумма потоков через два основания S1 и S2 и через боковую поверхность Sбок. По теореме Гаусса имеем

,

где – заряд, сосредоточенный на боковой поверхностичасти цилиндра, находящейся внутри замкнутой поверхности.

В силу симметрии задачи напряжённость поля E во всех точках боковой поверхности Sбок имеет одинаковую величину и направлена перпендикулярно оси цилиндра в сторону от неё. Иначе говоря, напряжённость поля E всегда параллельна нормали к элементу площади боковой поверхности. С другой стороны, она перпендикулярна нормалям к элементам поверхностей оснований S1 и S2, как это показано на рисунке 3.12. Следовательно, потоки вектора E через основания S1 и S2 равны нулю. Поток же через боковую поверхность равен

.

Боковая поверхность части цилиндра, находящейся внутри замкнутой поверхности, равна

.

Подставляя формулы и в , получаем выражение для величины напряжённости электрического поля вне цилиндра на расстоянии от оси цилиндра:

.

Наконец, подставив в , получим силу

.

Произведём вычисления:

.

Ответ: .

Пример 6 . По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределён заряд с линейной плотностью . Определить напряжённостьE и потенциал электрического поля, создаваемого таким распределённым зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина нити составляет одну треть длины окружности и равна .

Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось Y была бы симметрично расположена относительно концов дуги (рисунок 3.13). На нити выделим элемент длины dl. Заряд , находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряжённость электрического поля в начале координат. Для этого найдём сначала напряжённость dE поля, создаваемого зарядом dQ:

,

где r – радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, в которой напряжённость поля вычисляется.

Выразим вектор dE через проекции dEx и dEy на оси координат:

,

где i и j – единичные векторы направлений (орты).

Напряжённость E найдём посредством интегрирования:

.

Интегрирование ведётся вдоль дуги длиной l.

В силу симметрии

.

Тогда

,

где.

Так как ,, то

.

Подставим это выражение dEy в и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Y, пределы интегрирования возьмём от 0 до /3, а результат удвоим:

.

Выразив радиус R через длину l нити (), получим

.

Из этой формулы видно, что напряжённость поля по направлению совпадает с осью Y.

Найдём потенциал электрического поля в начале координат. Сначала запишем потенциал, создаваемый точечным зарядом dQ в этой точке:

.

Заменим r на R и проведём интегрирование:

.

Так как , то

.

Произведём вычисления по формулам и :

,

.

Ответ: ;.

Пример 7 На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд . Площадь каждой пластины конденсатора равна. Определить силуF, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле напряжённости E, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на этот заряд действует сила

.

Так как поле однородно, то можно считать, что оно создаётся плоской бесконечной пластиной. Напряжённость такого поля определяется по формуле

,

где – поверхностная плотность заряда пластины.

Формула примет вид

.

Произведём вычисления:

.

Ответ: .

Пример 8 Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом , равномерно заряженным с линейной плотностью . определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, находящихся на расстоянии и от поверхности цилиндра в средней его части.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряжённостью поля и изменением потенциала: . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

, или .

Интегрируя это выражение, найдём разность потенциалов между двумя точками, отстоящими на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:

.

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряжённости поля можно воспользоваться формулой напряжённости поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

.

Подставив выражение E в , получим

,

или

.

Произведём вычисления, учитывая, что величины r1 и r2, входящие в формулу в виде отношения, можно выразить в сантиметрах (,):

.

Ответ: .

Пример 9 Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью , чтобы скорость его возросла в раза.

Решение. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу A сил электрического поля, затрачиваемую на перемещение электрона. Эта работа определяется произведением заряда e электрона на разность потенциалов U:

.

С другой стороны, работа сил электростатического поля равна изменению кинетической энергии электрона:

,

где T1 и T2 – кинетические энергии электрона до и после прохождения ускоряющего поля;

m – масса электрона;

v1 и v2 – начальная и конечная скорости электрона.

Приравняв правые части равенств и , получим

,

где .

Отсюда искомая разность потенциалов равна

.

Произведём вычисления:

.

Ответ: .

Пример 10 Конденсатор ёмкостью был заряжен до разности потенциалов . После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором ёмкостью . Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение. Энергия, израсходованная на образование искры

,

где W1 – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора;

W2 – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора или батареи конденсаторов ёмкостью C определяется по формуле

.

Выразив в формуле энергии W1 и W2 по формуле и приняв во внимание, что общая ёмкость параллельно соединённых конденсаторов равна сумме ёмкостей отдельных конденсаторов, получим

,

где U2 – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов;

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разеность потенциалов U2 следующим образом:

.

Подставив выражение U2 в , найдём

.

Произведём вычисления:

.

Ответ: .

Пример 11 На пластины плоского конденсатора, расстояние между которыми = 3 см, подана разность потенциалов =1 кВ. Пространство между пластинами заполняется диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 7). Найти поверхностную плотность связанных (поляризационных) зарядов σсв. Насколько изменится поверхностная плотность заряда на пластинах при заполнении конденсатора диэлектриком? Задачу решить, если заполнение конденсатора диэлектриком производится: а) до отключения конденсатора от источника напряжения; б) после отключения конденсатора от источника напряжения.

Решение. Введём обозначения: σ0 – поверхностная плотность зарядов на пластинах конденсатора в отсутствие диэлектрика, σд - поверхностная плотность зарядов на пластинах конденсатора в присутствии диэлектрика, σсв- поверхностная плотность связанных зарядов на диэлектрике. Совместное действие зарядов σд и σсв таково, как будто бы на границе раздела проводника и диэлектрика имеется заряд, распределённый с плотностью

σ = σд - σсв (1).

Таким образом, σ – поверхностная плотность «эффективных» зарядов, т. е. зарядов, определяющих суммарное результирующее поле в диэлектрике. Очевидно, величины σ0 σд и σ связаны с соответствующими напряжённостями поля следующими соотношениями:

в отсутствии диэлектрика (2);

в присутствии диэлектрика (3).

Из (1) имеем σсв = σд - σ или, на основании (3) σсв = εε0Е2 – ε0Е2= ε0(ε-1)Е2 = ε0(ε-1).

а) До отключения конденсатора от источника напряжения U1 =U 2= U и σсв = ε0(ε-1). Изменение поверхностной плотности заряда при заполнении конденсатора диэлектриком Δσ = σд - σ0 = ε0(ε-1)= σсв. Произведя вычисления, получим σсв= Δσ = 17,7 мкКл/м2.

Таким образом, благодаря источнику напряжения на пластинах конденсатора появятся добавочные заряды, компенсирующие уменьшение заряда, вызванное поляризацией диэлектрика.

б) После отключения конденсатора от источника напряжения q= const и . Тогда σсв = ε0(ε-1). Произведя вычисления, получим σсв = 2,53 мкКл/м2. Так как заряд постоянен, поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора не меняется.

Пример 11 Потенциометр с сопротивлением подключён к батарее, э.д.с. которой и внутреннее сопростивление . Определить: а) показание вольтметра с сопротивлением , соединённого с одной из клемм потенциометра подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; б) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.

Решение. 1. Показание вольтметра, подключённого к точкам A и B (рисунок 3.14), определим по формуле

,

где R1 – сопротивление параллельно соединённых вольтметра и половины потенциометра;

I1 – суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвлённой части цепи).

Силу токаI1 найдём по закону Ома для полной цепи:

,

где Re – сопротивление внешней цепи, равное сумме двух сопротивлений:

.

Сопротивление R1 найдём по формуле параллельного соединения проводников: , откуда

.

Подставив в выражение Re из , найдём

.

В данном случае решение задачи в общем виде было бы громоздким. Поэтому удобно вычисления величин провести раздельно:

;

;

.

2. Разность потенциалов между точками A и B при отключённом вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопротивления потенциометра:

,

где I2 – сила тока в цепи при отключённом вольтметре, которую определим по формуле

.

Подставив выражение I2 в , найдём

.

Произведём вычисления:

.

Ответ: а) ; б).

Пример 12 Сила тока в проводнике с сопротивлением нарастает в течение времени по линейному закону от до (рисунок 3.15). Определить: теплоту Q1, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q2 – за вторую, а также найти отношение Q2/Q1.

Решение. 1. Закон Джоуля-Ленца в виде справедлив для постоянного тока (). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде

.

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В данном случае

,

где k – коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока:

.

С учётом формула примет вид

.

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени t, выражение надо проинтегрировать в пределах от t1 до t2:

.

Произведём вычисления:

.

.

Следовательно, , т.е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую.

Ответ: ; ; .

Пример 13 Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трёх сопротивлений и гальванометра (рисунок 3.16). В этой цепи ,,, э.д.с. первого элемента. Гальванометр регистрирует силу тока, идущего в направлении, указанном стрелкой. Определить э.д.с.2 второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Указание. Для расчёта разветвлённых цепей применяются законы Кирхгофа.

1. Перед составлением уравнений следует произвольно выбрать:

а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже;

б) направление обхода контуров.

2. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа токи, входящие в узел, считаются положительными, а выходящие из узла – отрицательными. Число этих уравнений должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.

3. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует учитывать, что

а) падение напряжения (т.е. произведение IR) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока на данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура, и со знаком минус – в противном случае;

б) э.д.с. входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае э.д.с. входит в уравнение со знаком минус.

Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбрать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течёт в направлении, противоположном произвольно выбранному.

Решение. Выберем направления токов, как они показаны на рисунке 3.16, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

В цепи два узла – A и F. По первому закону Кирхгофа для узла F имеем:

.

По второму закону Кирхгофа для контура ABCDFA имеем

, или .

Соответственно, для контура AFGHA имеем

.

После подстановки числовых значений в формулы (1), (2), (3) получим систему уравнений

или

,

,

.

Умножая уравнение (4) на 25 и складывая с (5), получим , откуда. Из (6) получаем

.

Ответ: .

Пример 14 Пространство между пластинами плоского конденсатора имеет объём и заполнено водородом, который частично ионизирован. Площадь пластин конденсатора. При каком напряженииU сила тока, протекающего через конденсатор, достигнет значения , если концентрация ионов в газе?

Решение. Напряжение U на пластинах конденсатора связано с напряжённостью E электрического поля и расстоянием между пластинами соотношением

.

Напряжённость поля может быть найдена из выражения для плотности тока

,

где Q – заряд иона;

n – концентрация ионов;

b+, b – подвижности положительных и отрицательных ионов.

Отсюда

.

Так как объём пространства, заключённого между пластинами равен Sd, то

.

Подставив выражение E в формулу , получим

.

Произведём вычисления, учитывая, табличные данные по подвижности ионов ,

Ответ: .