Модуль 3.

Електростатика. Постійний струм.

МОДУЛЬ 3.

Електростатика. Постійний струм.

Приклади розв’язку задач

Задача 1. Дві мідні кульки масою m=8 г мають по 2,210²⁴ електронів. Скільки електронів необхідно вилучити з кожної кульки, щоб сила електростатичного відштовхування компенсувала силу гравітаційного притягання? Чому дорівнює маса цих вилучених електронів? Яку долю від всіх електронів вони складають?

Дано:	Розв’язання:
N1 = N2 = N0 = 2,21024	Із вилученням електронів кульки будуть мати позитивний заряд (1) де е=1,610-19 Кл – абсолютний заряд одного електрона (або протона), N – число вилучених електронів
V1 = V2 = 1 см3 = 110-6 м3
m1 = m2 = m = 8 г = 810-3 кг
mе = 9,110-3 кг
е = 1,610-9 Кл

Розміри кульки невеликі (густина міді ), ще й візьмемо відстаньr між цими кульками такою, щоб кульки можна розглядати як матеріальні точки і як точкові заряди.

Між зарядженими кульками діють електростатичні (кулонівські) сили відштовхування та сили тяготіння (рис.1)

Кулонівські та гравітаційні сили лежать на одній прямій й напрямлені в протилежні сторони. У рівновазі абсолютні значення цих сил однакові:

. (2)

Оскільки q₁=q₂=q і m₁=m₂=m, то

, звідки

.

Тоді кількість електронів

, (3)

де е=1,610^-19 Кл – заряд електрона.

Маса всіх вилучених електронів

. (4)

де m_е – маса електрона.

Для вилучених електронів N дорівнює

(5)

Виконуємо обчислення:

.

.

Доля електронів .

Задача 2. Два точкові електричні заряди 1 нКл та 2 нКл перебувають у повітрі на відстані 10 см один від одного. Визначити напруженість і потенціал поля, створюваного цими зарядами в точці А, віддаленій від першого заряду на відстань 9 см та від другого заряду на 7 см.

Дано:	Розв’язання:
q1 = 1 нКл = 10-9 Кл	За принципом суперпозиції полів напруженість поля в точці може бути знайдена як векторна сума напруженостей полів, створюваних кожним із зарядів окремо (рис. 2): Напруженості полів, створюваних зарядами, дорівнюють (у повітрі =1):
q2 = -2 нКл = -210-9 Кл
d =10 см = 0,1 м
r1 = 9 см = 0,09 м
r2 = 7 см = 0,07 м
Е - ?  - ?
	, (1) . (2)

Вектор напрямлений по силовій лінії від позитивного зарядуq₁ , вектор напрямлений по силовій лінії до негативного зарядуq₂ . Модуль вектора напруженості результуючого поля знаходимо за теоремою косинусів:

, (3)

де  - кут між векторами та(рис.1).

.

Підставляючи вирази Е₁ та Е₂ з формул (1) і (2) у формулу (3) дістаємо:

.

Потенціал результуючого поля визначаємо згідно з принципом суперпозиції електричних полів:

.

Рис. 2

Потенціали полів, створюваних зарядами, дорівнюють

.

У даному разі маємо:

.

Виконуємо обчислення:

Задача 3. Електричне поле створюється двома зарядами 4 мкКл та -2 мкКл, що містяться на відстані 0,1 м один від одного. Визначити роботу сил поля з переміщення заряду 50нКл з точки 1 в точку 2 (рис. 3).

Дано:	Розв’язання:
q1 = 4 мкКл = 410-6 Кл	Робота, виконувана в електростатичному полі, дорівнює: , де 1 і 2 – потенціали поля в точках 1 і 2.
q2 = -2 мкКл =-210-6 Кл
q = 50 нКл = 510-9 Кл
а = 0,1 м
А - ?

Застосовуючи принцип суперпозиції полів, визначаємо ці потенціали:

;

.

Тоді.

або

.

Виконуємо обчислення:

Відповідь: А = 1,4310^-2 Дж.

Задача 4. Визначити різницю потенціалів, яку має пройти в електричному полі електрон, швидкість якого дорівнює 10⁶ м/с для того, щоб його швидкість зросла вдвічі.

Дано:	Розв’язання:
 = 106 м/с	Прискорювальну різницю потенціалів можна знайти, визначивши роботу сил електростатичного поля:
n = 2
U - ?
	. (4)

Робота сил електростатичного поля в даному випадку дорівнює зміні кінетичної енергії електрона:

. (5)

де ₁ і ₂ – швидкості електрона до та після проходження прискорюю чого поля відповідно.

Прирівняємо праві частини виразів (4) і (5) і одержимо

,

де .

Звідси різниця потенціалів

.

Виконуємо обчислення:

.

Відповідь: U = 8,53 В.

Задача 5. Визначити відстань між пластинами плоского конденсатора, якщо між ними прикладена різниця потенціалів U = 150 В, причому площа кожної пластини S = 100 см², її заряд Q = 10 нКл. Діелектриком є слюда (=7).

Дано:	Розв’язання:
U = 150 В	Електроємність плоского конденсатора: . З іншого боку електроємність визначається як: .
S = 100 см2 = 10-2 м2
Q = 10 нКл = 10-8 Кл
 = 7
d - ?

Прирівнюючи праві частини формул, отримаємо:

, звідки .

Відповідь: d = 9,29 мм.

Задача 6. Різниця потенціалів між точками А та В U = 9 В (рис. 4). Електроємність конденсаторів дорівнює відповідно С₁= 3 мкФ та С₂= 6 мкФ. Визначити: 1) заряди Q₁ та Q₂; 2) різницю потенціалів U₁ та U₂ на обкладинках кожного конденсатора.

Дано:	Розв’язання:
U = 9 В	Падіння напруг між точками А та В (рис.3), можна представити у вигляді: .
С1=3 мкФ = 310-6 Ф
С2=6 мкФ = 610-6 Ф
Q1, Q2- ? U1, U2 - ?

Електричний заряд у послідовно з’єднаних конденсаторів однаковий, тому:

.

Величина ємностей може бути представлена у вигляді: .

Звідки слідує, що . Падіння напруги на другому конденсаторі може бути представлене у вигляді:. Величина напруги між точками А та В:.

Величина падіння напруги на першому конденсаторі:

.

Відповідно падіння напруги на другому конденсаторі:

.

Величина заряду на обкладинках конденсаторів:

.

Відповідь: Q = 2710^-6 Кл, U₁ = 6 В, U₂ = 3 В.

Задача 7. Внутрішній опір акумулятора 1 Ом. При силі струму 2 А його ККД дорівнює 0,5. Визначити ЕРС акумулятора.

Дано:	Розв’язання:
r = 1 Ом	ККД джерела живлення: (1) де R – зовнішній опір (опір навантаження).
І = 2 А
 = 0,8
 - ?

Звідки (2)

За законом Ома для повного кола

, (3)

де І – сила струму,  - ЕРС акумуляторів.

Звідки із (3) та (2) отримуємо:

. (4)

Виконуємо обчислення:

.

Відповідь:  = 10 В.

Задача 8. Потенціометр опором 100 Ом підключений до батареї з ЕРС 150 В та внутрішнім опором 50 Ом. Визначити покази вольтметра, з’єднаного з однією із клем потенціометра і контактом посередині потенціометра. Внутрішній опір вольтметра дорівнює 500 Ом.

Дано:	Розв’язання:
R = 100 Ом	Показ вольтметра, відімкненого до точок А і В (рис. 5), визначаємо за законом Ома для однорідної ділянки кола: , де R1 – опір паралельно з’єднаних вольтметра і половини потенціометра;
E = 150 B
r = 50 Ом
RV = 500 Ом
U - ?
	І – сумарна сила струму в цій частині кола (вона дорівнює силі струму в нерозгалуженій частині кола).

Силу струму знаходимо за законом Ома для повного кола:

,

де R_e – опір зовнішнього кола. Цей опір є сумою двох послідовно з’єднаних опорів:

.

Тоді .

Опір R₁ знаходимо за формулою паралельного з’єднання провідників:

або;.

Визначаємо силу струму та покази вольтметра:

,.

Задача 9. Сила струму в провіднику опором 20 Ом зростає протягом 2с за лінійним законом від 0 до 6А. Визначити теплоту, що виділилася в цьому провіднику за першу і другу секунди, а також знайти відношення цих кількостей теплоти.

Дано:	Розв’язання:
R = 20 Ом	Закон Джоуля-Ленца справедливий при проходженні по провіднику постійного струму. Якщо ж сила струму в провіднику змінюється, то цей закон справджується для нескінченно малого інтервалу часу і записується у вигляді: (6)
t = 2c
I0 = 0 A
t1 = 1c
t2 = 2c
Q1 - ? Q2 - ?

Тут сила струму є деякою функцією часу. У даному випадку

, (7)

де к – коефіцієнт пропорційності, який характеризує швидкість зміни сили струму:

.

З урахуванням виразу (6) формула(7) набирає вигляду:

. (8)

Для визначення теплоти, що виділилася за скінчений інтервал часу, вираз (8) інтегруємо в необхідних межах часу:

;

.

Виконуємо обчислення:

;

.

Отже,

,

тобто за другу секунду виділиться теплоти в 7 разів більше, ніж за першу.

Задача 10. Температура вольфрамової нитки електролампи 2000 ⁰С, діаметр 0,02 мм, сила струму 4А. Знайти напруженість поля в нитці. Питомий опір вольфраму при 0⁰С ₀ = 5,510^-8 Омм, температурний коефіцієнт опору = 5,210^-3 К^-1.

Дано:	Розв’язання:
t = 2000 0С	За визначенням густини струму: (1) де I – сила струму, S – площа поперечного перерізу провідника.
d = 0,02 мм
I = 4 A
0 = 5,510-8 Омм
 = 5,210-3 К-1
E - ?

За законом Ома в диференціальній формі:

, (2)

де Е – напруженість електричного поля,  - питома електропровідність вольфраму.

Питомий опір провідника залежить від його температури t:

, (3)

де ₀ – питомий опір при 0⁰С,

 - температурний коефіцієнт опору.

З рівнянь (1)-(3) отримуємо:

.

Виконуємо обчислення:

.

Відповідь: Е = 8000 В/м

Задача 11. Визначити загальний опір між точками А та В кола, представленого на рис.6а, якщо R₁ = 1 Ом, R₂ = 3 Ом, R₃ = R₄ = R₆ = 2 Ом, R₅ = 4 Ом.

Дано:	Розв’язання:
R1 = 1 Ом
R2 = 3 Ом
R3 = R4 = R6 = 2 Ом
R5 = 4 Ом
R - ?
	Рис. 6а.

Будуємо еквівалентну схему (рис.6б):

Як видно із еквівалентної схеми опори 3 та 6 з’єднані паралельно, тому величина їх еквівалентного опору:

.

Опір 2 з’єднаний послідовно з найденим еквівалентним опором R₃₆, тому:

.

Опір 5 з’єднаний паралельно із знайденим еквівалентним опором, тому:

.

Опір 1 з’єднаний послідовно з найденим еквівалентним опором, тому:

.

Опір 4 з’єднаний паралельно із знайденим еквівалентним опором, тому загальний опір схеми:

.

Відповідь: R = 1,2 Ом.