1.6. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом
Дисперсией света называется явление зависимость показателя преломления вещества от длины волны (или частоты) падающего излучения.
Качественной характеристикой этого явления служит производная от показателя преломления по длине волны, называемая дисперсией вещества D:
dn
D = ––– . (1.38)
dλ
При нормальной дисперсии показатель преломления вещества уменьшается с увеличением длины волны, и dn / dλ < 0. Это имеет место для всех прозрачных бесцветных материалов.
При аномальной дисперсии показатель преломления увеличивается с увеличением длины волны и dn / dλ > 0. Этот случай наблюдается вблизи полос поглощения света.
Согласно молекулярной теории дисперсии света вдали от областей поглощения света
(1.39)
где ε – диэлектрическая постоянная вещества; ω0 – собственная частота колебаний молекул; ω – частота падающего излучения; m и e – масса и заряд электрона.
Строго монохроматическая волна распространяется со скоростью
ω λ λ с
v = ω /k = -––- = ν λ = ––- = –––-, (1.40)
2π Т n
которая называется фазовой скоростью. Здесь λ – длина волны; k = 2π /λ –волновое число (измеряется в 1/м , м-1); Т - период колебаний; с – скорость волны в вакууме.
Пакет (группа) волн в диспергирующей среде распространяется с групповой скоростью
d ω
u = –––- . (1.41)
d k
Связь между фазовой и групповой скоростями описывается формулой Рэлея
d v d v
u = v + k –––- = v - k –––- . (1.42)
d k d λ
Из этой формулы видно, что в зависимости от знака d v/d λ групповая скорость может быть как больше , так и меньше фазовой скорости. В недеспергирующей среде d v/dλ =0, и обе скорости совпадают.
ПРИМЕР. Показатели преломления дистиллированной воды для света длин волн λ1 = 486 нм и λ2 = 509 н соответственно равны n1= 1,3371 и n2 = 1, 3360. Определить средние значения фазовой и групповой скоростей в этом интервале длин волн.
РЕШЕНИЕ. Считая, что показатель преломления в заданном интервале длин волн изменяется линейно, среднюю фазовую скорость v определим как среднюю арифметическую скоростей v1 и v2, которые найдем из соотношений v1 = с/n1 и v2 = с /n2 , где с – скорость света в вакууме.
v1 + v2 с 1 1 3∙108 1 1
<v> = ––––––- = –– ( –- + ––-) = –––– (–––––- + ––––––- ) = 1,24∙108 м/с.
2 2 n1 n2 2 1,3371 1, 3360
При определении групповой скорости заменим производную dv/dλ приращениями Δv/Δλ, что вполне обоснованно при малых интервалах Δv и Δλ, как в нашей задаче. Тогда средняя групповая скорость будет равна
Отметим, что групповая скорость в данной задаче меньше фазовой, т.е. мы находимся в области нормальной дисперсии. Это следует и из условия задачи, поскольку показатель преломления воды уменьшается с увеличением длины волны.
При прохождении света через поглощающее вещество интенсивность света ослабляется по закону Бугера
(1.43)
Здесь I0, I – интенсивности света на входе и выходе из поглощающего слоя толщиной d; k – коэффициент поглощения излучения (измеряется в 1/м , м-1); е – основание натурального логарифма, е = 2,72. Для растворов k = βс, где с – концентрация растворенного вещества; β– коэффициент поглощения на единицу концентрации вещества.
ПРИМЕР. Пучок монохроматического света поочередно пропускают через две пластинки толщиной d = 1 см. Коэффициент поглощения первой пластинки в 4 раза меньше коэффициента поглощения второй. Интенсивность света на выходе из второй пластинки в 3 раза меньше, чем из первой. Коэффициенты отражения света от поверхностей пластинок одинаковы. Определить коэффициенты поглощения k1 и k2 обеих пластинок.
РЕШЕНИЕ. Пусть интенсивность света, падающего на пластинки I0, коэффициент отражения света каждой пластинки r. Тогда из первой пластины выйдет свет интенсивности
из второй-
Учитывая, что k2 = 4k1, найдем отношение интенсивностей
Прологарифмируем правую и левую части последнего выражения:
Подставим числовые значения и определим k1 и k2:
