Динамика вращательного движения

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ

Определение момента инерции_

Момент инерции тела относительно неподвижной оси___

Физическая величина, равная сумме про­изведений элементарных масс на квадра­ты их расстояний до рассматриваемой оси. Суммирование производится по всем эле­ментарным массамт_i на которые можно разбить тело.

Момент инерции — величина аддитив­ная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Момент инерции тела в случае непрерывного распределения масс_

Интегралы берутся по всему объему тела, причем величины p и r являются функциями точки (например, декартовых ко­ординат x, y и z).

[p — плотность тела в данной точке; dm = р dV — масса малого эле­мента тела объемом dV, отстоящего относительно оси вращения на расстоянии r;]

Момент инерции сплошного цилиндра. Теорема Штейнера_

Момент инерции однородного сплошного цилиндра радиуса R относительно егогеометрической оси_

Разобьем цилиндр на отдельные полые концент­рические цилиндры бесконечно малой толщиныdr с внутренним радиусомr и внешнимr +dr. Мо­мент инерции каждого полого цилиндраdJ =r² dm (dr<<r), объем элементарного цилиндра2πrh· dr, его массаdm =2πrhp· dr иdJ =2πhpr³· dr (p— плотность материала). Момент инерции сплошного цилиндра .

Поскольку πR²h— объем цилиндра, его массат = πR²hp, а.

Теорема Штейнера_

J = J_C+ та²

Момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерцииJ_с относительно параллельной оси, проходящей через центр массС тела, сложенному с произведением массыт тела на квадрат расстоянияа между осями.

Моменты инерции однородных тел

1.52 Кинетическая энергия вращающегося твердого тела_______

Исходные данные____

Тело вращается вокруг неподвижной осиz. Мыс­ленно разбиваем это тело на элементарные массыm₁,т₂, ... ,m_i, ... , находящиеся от оси на расстоя­нияхr₁,r₂, ... ,r_i, ... . При вращении твердого тела элементарные объемы массамиm_i, опишут окружнос­ти различных радиусовr_i.

Кинетическая энергия i-й элементарной массы

Линейная скорость элементарной массы ш₁ равна v_t = cor- (угло­вая скорость вращения всех элементарных объемов одинакова).

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

(учли, что );J_z – момент инерции тела относительно осиz.

Из сравнения формул иследует, чтомомент инерции – мера инертности тела при вращательном движении.

Кинетическая энергия тела при плоском движении

Складывается из энергии поступательного движения со скоро­стью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

[т — масса тела; V_C — скорость центра масс тела; J_C — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω — угловая скорость тела]

Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела Момент силы__

Момент силы относительно неподвижной точки О__

Физическая величина, определяемая вектор­ным произведением радиуса-вектора, проведенного из точки О в точку А приложения си­лы, на силу .

—псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движе­ния правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора момента силы_

[а— угол между и; — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точ­кой О — плечо силы]

Момент силы относительно неподвижной оси z_

Скалярнаявеличина М_г, равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определен­ного относительно произвольной точки О дан­ной оси г. Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением векто­ра , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью.