1.6 Распределение Гиббса

Расширенная по сравнению с Максвеллом и Больцманом трактовка статистической физики была дана Гиббсом. В его трактовке задача заключается в вычислении средних значений физических величин. Вместо усреднения по времени в рамках одной системы рассматривается совокупность большого числа определенным образом неупорядоченных одинаковых систем. Замкнутая система определяется как система с постоянной энергией, постоянным числом частиц и постоянным объемом. Основополагающими понятиями в этом описании являются понятия ансамбля, совокупности частиц и фазового пространства.

Под фазовым Г-пространством понимают пространство всех обобщенных координат q и импульсов р. Микросостояние системы или ее фаза изображаются в этом пространстве точкой. При наличии n степеней свободы мы имеем пространство 2n-измерений.

Представим себе, что имеется N вариантов изучаемой системы, полностью адекватных в макроскопическом отношении: все они находятся в одинаковых внешних условиях, имеют одинаковый состав и строение. Такая условная совокупность тождественных, невзаимодействующих друг с другом систем называется ансамблем Гиббса. Различные системы ансамбля отличаются друг от друга микросостояниями. Будем предполагать, что в ансамбле представлены все возможные микроскопические состояния, совместимые с данными внешними условиями. С течением времени вследствие движения частиц микроскопические состояния сменяют друг друга.

В классической статистике каждое микросостояние системы характеризуется точкой. находящейся в объеме pq 6N-мерного пространства. Вероятность данного микросостояния системы, или вероятность того, что координаты и импульсы частиц находятся в заданном интервале x, p:

, (1.6.1)

где N- полное число систем в ансамбле, N- число микросостояний, изображаемых точками, лежащими внутри заданного объема.

Вероятность определенного состояния системы пропорциональна заданному фазовому объему pq и плотности распределения точек, изображающих состояния систем ансамбля в фазовом пространстве.

Функцией распределения (функцией состояния) f(p,q) называется плотность распределения (число точек в единице объема фазового пространства), отнесенных к полному количеству систем в ансамбле N.

(1.6.2)

Из определения вероятности следует, что должно иметь место условие нормировки

(1.6.3)

Таким образом, функция распределения для некоторой изолированной (находящейся в термостате) системы имеет вид

, (1.6.4)

где W(p,q) - полная энергия системы, а коэффициент A(T) определяется из условия нормировки (1.6.2). Полученное распределение называется распределением Гиббса или каноническим распределением.

В случае квантовой статистики необходимо заменить непрерывное распределение различных состояний их дискретным набором. Характеристикой замкнутой системы служит энтропия. Каждому значению энергии W_i отвечает некоторая группа N(W_i) квантовых состояний (степень вырождения).

Так как все состояния с заданной энергией равновероятны, вероятность нахождения системы в одном из состояний с данной энергией

.

Это микроканоническое распределение Гиббса. Оно показывает, что вероятность нахождения замкнутой системы в одном из состояний с данной энергией пропорциональна кратности его вырождения (см. библиографический список (3)).

Условие нормировки:

(1.6.5)

Отсюда следует каноническое распределение Гиббса

(1.6.6)

При помощи распределения Гиббса можно вычислить среднее значение любой величины, зависящей от состояния системы. Состояние, отвечающее максимуму распределения Гиббса, является наиболее вероятным.