Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
57
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
4.08 Mб
Скачать

1.4. Экспериментальная проверка закона распределения.

Прямая экспериментальная проверка теоретических выводов относительно распределения скоростей молекул была проведена с использованием метода молекулярных пучков. Молекулярный пучок - направленный поток молекул, движущихся в вакууме без столкновений друг с другом. Источником частиц служила печь, из которой выходил поток атомов Hg (рис.1.4.1).

Рис.1.4.1.

При прохождении атомов через щели вырезается (коллимируется) узкий пучок. Если отверстие достаточно мало (меньше средней длины свободного пробега атомов в печи), то в печи будет сохраняться равновесие газа, а атомы, выходящие в окружающий вакуум, сохранят параметры, характерные для газа в состоянии равновесия. Распределение скоростей может быть зарегистрировано в устройстве, которое отбирает молекулы, имеющие определенную скорость. Между источником и приемником пучка находится селектор скоростей, представляющий собой пару дисков на общей оси, которую можно вращать с заданной угловой скоростью. Диски одинаковы и на периферии каждого из них сделан вырез. Диски, вращаясь, действуют как две задвижки, поочередно открывающиеся и закрывающиеся. Атомы Hg, прошедшие через одно из отверстий в первом диске и имеющие скорость v, подходят ко второму диску через промежуток времени t=l/v, где l - расстояние между дисками. За время t второй диск поворачивается на угол =l/v. Таким образом, при угловом расстоянии между отверстиями, равном , лишь атомы, со скоростью v=l/, могут пройти через второй диск и попасть на детектор, помещенный за ним. Изменяя скорость вращения, можно выделить любой участок из "диапазона" скоростей. Полученные таким методом экспериментальные результаты оказываются в хорошем соответствии с теоретическими расчетами.

1.5. Распределение Больцмана. Барометрическая формула.

До сих пор мы не учитывали существование внешнего силового поля (например, гравитационного). В отсутствии поля молекулы газа равномерно распределяются по всему объему, т.е. плотность газа в объеме постоянна. Если действует силовое поле, то плотность частиц и давление газа будет функцией координаты точки f(x,y,z).

Получим закон изменения давления с высотой, при условии, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова.

Рассмотрим цилиндр сечением 1м2, перпендикулярный поверхности Земли (рис.1.5.1). Разность давлений двух слоев, находящихся на различной высоте, равна весу газа между ними

.

На основании соотношения p=nkT исключаем n и получаем дифференциальное уравнение

.

Для решения этого уравнения интегрируем левую и правую части

Рис.1.5.1.

,

,

или

Это выражение называется барометрической формулой. Так как высота обозначается относительно уровня моря, где давление обозначим р0, то это выражение может быть записано в виде

, (1.5.2)

где р - давление на высоте h.

Если вернуться к соотношению p=nkT, то можно получить распределение концентрации молекул газа по высоте

. (1.5.3)

Барометрическая формула имеет простой физический смысл: молекул меньше там, где больше их потенциальная энергия. Увеличение потенциальной энергии молекулы в поле тяготения на величину mgh связано с работой сил поля

A=mgh.

Теперь можно определить потенциальную энергию молекулы, имеющей массу m и поднятую на высоту h

U(h)=mgh.

Тогда формула (1.5.2) примет вид . Этот вариант можно обобщить на случай, когда потенциальная энергия зависит не от одной, а от всех трех координатU(x,y,z):

(1.5.4)

Это один из вариантов распределения Больцмана для идеального газа во внешнем поле.

Аналогичную формулу имеем для концентрации молекул

(1.5.5)

Функция, характеризующая среднее число молекул, находящихся в данном состоянии, называют статистическим распределением.

При рассмотрении системы из множества частиц мы предполагаем, что частицы по каким-либо признакам отличаются друг от друга. Если две частицы поменяли местами, то такие состояния рассматриваются как различные.

Модель различных частиц называют моделью Максвелла-Больцмана, а полученную при этом статистику - статистикой Максвелла-Больцманан.

Пример8. На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что температура воздуха 290К, g=9,8 м/с2, R=8,3103Джкмольк-1, =29 кг/кмоль, p/p0=1/2.

Решение. Из барометрической формулы следует

или т.е., из полученного соотношения имеем

поскольку k=R/NA и m=/NA, получаем - искомая высота.