1.3. Распределение Максвелла

В равновесном состоянии в системе, состоящей из огромного числа частиц, например в некотором объеме газа, при отсутствии внешних воздействий не происходит макроскопических изменений: параметры системы остаются постоянными. Постоянным остается и среднее значение скорости молекул. Ответ на вопрос, сколько молекул, или какая их часть движется с определенной скоростью в данный момент, был теоретически получен Максвеллом.

Введем понятие пространства скоростей. Для каждой молекулы откладываем компоненты ее скорости по трем взаимно перпендикулярным осям (рис. 1.3.1).

Каждая точка в пространстве скоростей соответствует одной молекуле с определенной скоростью. Вектор скорости идет от начала координат к рассматриваемой точке.

Рассмотрим, как будут распределены молекулы, содержащиеся в единичном объеме газа по скоростям.

Эти молекулы будут изображаться совокупностью из n точек. Из-за столкновений молекул какие-то точки будут выходить из элемента объема, а другие входить в него. Однако среднее число точек в данном элементе объема сохраняется.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), которая называется функция распределения молекул по скоростям. Функция f(v) определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, т.е.

, откуда .

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел эту функцию:

(1.3.1)

Из формулы видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы m₀) и от параметра состояния (температуры T).

График функции f(v) приведен на рис.1.3.2. Функция f(v) начинается от нуля, достигает максимума при v_в и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая не симметрична относительно v_в.

Распределение Максвелла - это распределение по скоростям молекул идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия.

Интегрируя распределение Максвелла, можно рассчитать средние величины. Средний квадрат скорости (средняя квадратичная скорость)

Рис.1.3.2.

Рис.1.3.2

1.3.2)

С

v_в

корость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называетсянаиболее вероятной скоростью. Значение наиболее вероятной скорости можно определить, используя условие максимума функции откуда следует, что

(1.3.3)

Для того, чтобы найти число молекул, обладающих скоростями в интервале от v₁ до v₂, необходимо определить площадь под соответствующим участком кривой (рис.1.3.2.)

При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и вид кривой изменяется. Распределения для двух разных температур приведены на рис.1.3.3. Поскольку площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, следовательно, при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

Рис.1.3.3 Т₁ Т.

Среднее значение абсолютной величины скорости (среднее значение скорости равно нулю, так как отрицательное и положительное значения компонент равноправны) определяется по формуле

(1.3.4)

Таким образом, скорости, характеризующие состояние газа:

1. наиболее вероятная ;

2. средняя скорость ;

3. средняя квадратичная .

Эти скорости связаны соотношением

v_В : v : v_кв 1:1,13:1,22,

то есть средняя квадратичная скорость имеет наибольшую величину.

Исходя их распределения молекул по скоростям, перейдя к новой переменной Е=m₀v²/2, можно получить функцию распределения молекул по энергиям

(1.3.5)

Тогда средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа равна

(1.3.6)

Для того, чтобы рассчитать количество молекул N, скорости которых находятся в промежутке от v до v+v, удобно ввести относительную скорость u=v/v_В, где v_{В -} наиболее вероятная скорость. Тогда N - число молекул, относительные скорости которых находятся в интервале u, u+u, т.е. v/v_в, v+v/v_В, где должно быть vv. Таким образом, имеем

где N - полное число молекул газа, N/N - относительное число (доля) молекул, имеющих скорости в интервале u, u+u. График этой зависимости соответствует рис.1.3.2, если по оси абсцисс отложить u, а по оси ординат величину N/(Nu) - функцию распределения.

Пример7. Определить среднеквадратичную скорость молекул азота при температуре 27С. Как зависит средне квадратичная скорость от молекулярной массы и температуры?

Т=300К, =28 кг/кмоль, k=1,3810^-23Дж/град.

Решение. где;

Таким образом

Средняя квадратичная скорость прямо пропорциональна корню квадратному из температуры и обратно пропорциональна корню квадратному из молекулярной массы.