1. 2. Вероятность

Основой статистического метода служит теория вероятностей. Теория вероятностей в абстрактной форме отражает закономерности, присущие случайным событиям массового характера. Их отличительная черта состоит в том, что при многократном повторении в неизменных условиях некоторого испытания могут осуществляться различные события. Испытанием в теории вероятностей принято называть осуществление точно установленных предписаний и условий, которые принципиально могут воспроизводится неограниченное число раз. Результат испытания называется событием. Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Следовательно, событие " при бросании монеты выпал "герб" - случайное. Каждое случайно событие - следствие действия очень многих случайных причин, поскольку учесть влияние на результат всех этих причин невозможно, то нельзя предсказать исход одиночного случайного события. Однако если рассматривать случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий, то они подчиняются определенным закономерностям - вероятностным закономерностям.

Числовая характеристика возможности появления какого-либо определенного случайного события называется вероятностью.

Если при N опытах n раз произошло определенное событие А, то величина

p(А)=n(А)/N

называется относительной частотой появления этого события в серии испытаний. В общем случае величина р(А) колеблется при переходе от одной серии испытаний к другой. Однако, если N, то относительная частота стремится к некоторому предельному значению, которое называется вероятностью события А.

Под вероятностью понимается предел, к которому стремится относительная частота появления некоторого события при достаточно большом, стремящемся к бесконечности числе повторений опыта при неизменных внешних условиях.

(1.2.1)

Таким образом, вероятность некоторого события А всегда можно приближенно определить с точностью до заранее заданной сколь угодно малой отличной от нуля величины, если провести достаточно большое, но конечное число испытаний.

События могут состоять и в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости могут появиться число 1, 2, 3, 4, 5, и 6. Наперед, определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа1, 2, 3, 4, 5, и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное.

Из определения следует, что численное значение вероятности заключено между 0 и 1

.

Событие, которое всегда происходит при данных условиях. называется достоверным, событие, которое никогда не происходит при данных условиях, называется невозможным.

Определение относительной частоты приводит к выражению среднего значения любой физической величины А.

(1.2.2)

Их определения же следует, что сумма вероятностей, т.е. вероятность того, что случайная величина примет какое-то значение, равна1.

.

Это условие называется условием нормировки.

Рассмотрим некоторую систему, которая может находиться в определенных состояниях. Представим, что мы производим наблюдения в следующие друг за другом моменты времени t₁, t₂, …, причем число таких наблюдений велико и равно N. При каждом наблюдении система оказывается в одном из своих состояний. Обозначим через N_i число случаев, когда при наблюдении система находилась в состоянии с индексом i, тогда вероятность того, что система будет находится в состоянии N_i, приблизительно равна

.

Часто встречаются системы, состояние которых изменяется не дискретно, а непрерывно. В состоянии, в котором величина А имеет значение А_i система будет находиться бесконечно малое время. В таком случае следует говорить о вероятности того, что система находиться в состоянии, для которого величина А имеет значения, лежащие в интервале от А до А+dA. В этом случае вероятность можно выразить следующим образом:

,

где t_A - время , в течение которого система находится в состояниях, соответствующих значениям А, лежащим между А и А+dA. Как время t_A, так и вероятность dP_A будут пропорциональны величине интервала dA. Следовательно dP_A можно представить в виде

,

где f(A) - вероятность того, что значение А лежит в некотором единичном интервале. Функция f(А) называется плотностью вероятности и используется в тех случаях, когда случайная величина А изменяется непрерывно.

Пример6. Материальная точка колеблется по закону . Найти вероятность того, что при случайном измерении ее положения она будет обнаружена в интервалеx, x+dx.

Материальная точка совершает периодическое движение, полное время наблюдения можно связать с периодом колебаний Т. Если dt - время, в течение которого материальная точка находится в интервале х, х+dx, то искомая вероятность равна

dP=2dt/T.

Множитель2 введен потому, что за период Т точка побывает в указанном интервале дважды. Выражая время dt через dx, и учитавая, что Т=2/, имеем

,

следовательно,

- искомая вероятность.

В системах, состоящих из сравнительно небольшого числа частиц, имеют место отклонения физических величин, характеризующих системы, от их средних значений, такие отклонения называются флуктуациями.

Рассмотрим некоторую величину, которая характеризует отклонения истинных значений величины А от ее среднего значения . Можно попытаться в качестве критерия взять среднее значение разности, т.е.. Обычно эта величина равна 0:

Равенство нулю величины выражает тот факт, что отклонения А отпроисходит одинаково часто как в сторону больших, так и в сторону меньших значений. Вследствие этого в качестве критерия необходимо взять не среднюю разность, а средний квадрат разности. Он не зависит от направления отклонения. Данная величинаназываетсяквадратичной флуктуацией. Это существенно положительная величина.На основании определения :

.

Для оценки относительной погрешности при замене А ее средним значением, служит величина

,

которую называют относительной флуктуацией.

Из соотношений теории вероятностей следует очень важная связь флуктуаций с количеством частиц N, находящихся в рассматриваемой системе

(1.2.3)

Относительная роль флуктуаций уменьшается с увеличением числа частиц в системе. Вследствие этого в макроскопических системах величина относительной флуктуации незначительна и с достаточной точностью все макроскопические параметры системы равны их средним значениям.

Флуктуации имеют очень большое значение не только в физике, но и в технике. Например, при протекании тока в проводниках, полупроводниковых и электронных устройствах возможны флуктуации плотности и скорости частиц - носителей заряда. Следствием этого являются так называемый дробовой эффект, тепловой шум. В этом случае флуктуации ограничивают точность измерения электрических величин.

Подобные эффекты возникают не только при измерении электрических величин, но и для любой измерительной техники, так как оно устанавливает нижнюю границу точности измерений, которая является принципиальной, обусловленной самой природой вещей.