1. Основы молекулярно-кинетической теории газов

Изучение молекулярной физики начнем с изучения молекулярно-кинетической теории газов.

Молекулярно-кинетическая теория газов - раздел физики, изучающий их свойства статистическими методами на основе представления об их молекулярном строении и определенном законе взаимодействия между молекулами.

Газ (от греческого chaoc - хаос) - агрегатное состояние вещества, в котором составляющие его атомы и молекулы слабо взаимодействуют и хаотически движутся в результате столкновений друг с другом, занимая весь предоставленный им объем.

Кинетическая теория газов строится на некоторых общих представлениях и опытных фактах. Вначале рассмотрим модель, называемую идеальным газом.

Идеальный газ - это газ молекулы, которого можно рассматривать как материальные точки и для которого можно пренебречь потенциальной энергией взаимодействия молекул по сравнению с их кинетической энергией. Столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда считаются абсолютно упругими.

Некоторые реальные газы близки по своим свойствам к идеальному газу при условиях близких к нормальным (кислород, гелий), а так же при низких давлениях и высоких температурах.

Макроскопическое состояние газа определяется давлением, температурой и объемом. В свою очередь давление, температура и объем являются параметрами, характеризующими макроскопическое состояние системы. Микроскопическое состояние газа определяется положением и скоростями всех его молекул.

Параметры состояния системы могут изменяться. Изменение любого термодинамического параметра называется термодинамическим процессом. Если состояние системы с течением времени не изменяется, то это стационарное состояние. Стационарное состояние системы, не обусловленное внешними процессами, называется равновесным состоянием системы. Уравнение, описывающее равновесное состояние термодинамической системы, называется уравнением состояния.

Основные положения молекулярно-кинетической теории газов

Первое положение молекулярно-кинетической теории - полная хаотичность движения молекул. В газе все направления движения молекул равноправны. Нет ни одного направления, в котором молекулы двигались бы в большем количестве или в котором преобладали бы более быстрые по сравнению с любым другим направлением молекулы.

Второе основное положение - пропорциональность средней скорости молекул корню квадратному их абсолютной температуры. Это положение является результатом опытов.

Третье положение - средние кинетические энергии молекул разных газов, находящихся при одинаковой температуре, равны между собой. Это положение также является результатом опытов.

1.1. Основное уравнение кинетической теории газов

Для вывода этого уравнения предположим, что в сосуде находится идеальный газ. Молекулы газа соударяются друг с другом и со стенками сосуда. Соударения молекул друг с другом приводят только к перераспределению энергии между молекулами. Выделим некоторую элементарную площадку на стенке сосуда и рассчитаем давление газа на нее (Рис.1). При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс, гдеm - масса молекулы, v - ее скорость. За время t площадки S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием S и высотой vt. Если n - концентрация молекул, то число этих молекул - nSvt. Однако следует учесть, что молекулы движутся к площадке S под разными углами и с различными скоростями. Поскольку движение молекул хаотическое, то его можно заменить движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. К тому же поскольку ни одно из направлений не имеет преимуществ перед другими, то в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 всех молекул, причем половина из них, т.е. 1/6 в одну сторону, другая половина - в противоположную. Тогда за время t площадку S достигнет число молекул, равное . При столкновении с площадкойS эти молекулы передадут ей импульс

Тогда давление, оказываемое газом на стенку сосуда, равно

. (1.1.1)

Как уже отмечалось выше, молекулы движутся с различными скоростями v_1, v₂,…, v_n, если в объеме V газа содержится N молекул, то вместо скорости v необходимо учитывать среднюю квадратичную скорость

Тогда уравнение (1.1.1) запишется в виде

(1.1.2)

Уравнение (1.1.2) называют основным уравнением кинетической теории идеальных газов.

П

(1.1.3)

оскольку концентрацияn=N/V, следовательно

или ,

где Е - средняя кинетическая энергия одной молекулы, Е - кинетическая энергия газа.

Давление пропорционально числу молекул в единице объема и среднему значению кинетической энергии молекул.

Из основного уравнения можно вывести все газовые законы, установленные экспериментально еще в XVIII столетии, для данной массы газа справедливы законы:

Бойля-Мариотта PV=const, при T=const;

Гей-Люссака при р=const и приV=const;

Дальтона p=p₁+p₂+…+p_n;

Для 1 киломоля идеального газа справедлива формула Клапейрона-Менделеева

, (1.1.4)

где R=8,314 Дж/(мольК) - универсальная газовая постоянная. Для одного моля газа N=N_A=6,0210²³ - число Авагадро. Следовательно, число Авогадро это число молекул в моле любого вещества. Количество молекул газа при нормальных условиях (p=1,01310^-5 Па, T=273K), находящихся в единице объема (1м²), называется числом Лошмидта N_L=2,68710 ²⁵м^-3. Оно равняется числу Авогадро, деленному на объем моля газа при нормальных условиях V_m=22,4110^-3м³моль^-1

Сравнивая выражения (1.1.3) и (1.1.4), получаем

С учетом постоянной Больцмана (k=R/N_A=1,3810^-23Дж/K):

(1.1.5)

Мы получили соотношение, связывающее среднюю кинетическую энергию одной молекулы с температурой.

Температура - физическая величина, характеризующая состояние равновесия термодинамической системы и пропорциональная средней кинетической энергии хаотического движения частиц, составляющих систему.

При приведении в контакт веществ, с различными температурами, т.е. кинетическими энергиями частиц, имеет место теплообмен - выравнивание температур.

Для измерения температуры используют зависимость физических свойств веществ от температуры (контактную разность потенциалов, тепловое расширение, зависимость электрического сопротивления, излучательную способность и т.д.).

Из уравнения (1.1.4) можно рассмотреть связь между температурой, давлением и объемом для заданной массы идеального газа

,

где m - масса газа,

 - молярная масса газа,

 - число молей,

N- число молекул в данном объеме газа.

Поскольку для двух различных состояний одной массы газа p₁V₁=NkT₁ и p₂V₂=NkT₂, имеем т.е.(1.1.6)

Термодинамическая температура прямо пропорциональна произведению объема на давление ( для заданной массы газа).

В качестве примера применения уравнения Менделеева - Клапейрона рассмотрим процесс изменения температуры и давления при постоянном объеме V=const (изохорический процесс). В этом случае удобно воспользоваться зависимостью давления от плотности и температуры

, (1.1.7)

где =m/ - плотность газа (кг/м³).

Г

Рис.1.1.2

рафик изохорического процесса в координатах р,Т (рис.1.1.2) представляет собой прямые, проходящие через начало координат. Из зависимости (1.1.7) и графика следует, что большей плотности (или концентрации n) соответствует большее давление. С другой стороны, большему объему V (при постоянной массе m) соответствует меньший угол наклона прямой к оси абсцисс - обратная зависимость.

Пример 1. Определить температуру, при которой 4м² газа создают давление 1,510⁵ Па, если при нормальных условиях газ занимает объем 5м³.

Решение. В нормальных условиях V₁=5 м³, р₁=1атм=101325 Па, Т₁=273К, необходимо найти Т₂ при V₂=4м³, р₂=1,510⁵ Па. Согласно (5) имеем

откуда

Пример2. Сколько молекул вы вдыхаете, если при одном вдохе получаете 1л воздуха?

Решение. Объем одного киломоля равен 22,4м³, значит 1л воздуха равен 110^-3/22,4=4,510^-5кмоль. Таким образом, 1л воздуха содержит 4,510^-56,0210²⁶=2,710²² молекул.

Пример3. Что тяжелее 1м³ сухого воздуха или 1м³ влажного воздуха при одинаковых температурах и давлениях? _возд.=29 кг/кмоль, _воды=18 кг/кмоль.

Решение. Средняя масса молекулы сухого воздуха больше, чем у водяного пара. Число молекул в обоих случаях одинаково, но во влажном воздухе часть молекул заменена более легкими молекулами воды, следовательно, 1м³ сухого воздуха тяжелее, чем 1м³ влажного.

Пример4. Как изменится давление данной массы газа при постоянном объеме, если температуру газа увеличить в 2 раза и каждая молекула при этом распадется на два атома?

Решение. , так какN и T увеличиваются в 2 раза, то давление увеличится в 4 раза.

Пример5. Показать, что .

Решение. Рассмотрим четыре молекулы, скорости которых различны и равны 1,2,3 и 4м/c. Квадрат среднего значения равен

,

а средняя квадратичная скорость равна

.

Если скорости отдельных молекул равны +1, -2, -3, +4 м/c, то , а