МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_1

1.1. ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ

1. Визначники - го порядку. Матрицею розмірності називається сукупність елементів , що складається із рядків та стовпців

Якщо число рядків дорівнює числу стовпців , матриця називається квадратною.

Визначником або детермінантомго порядку квадратної матриці називається число, що ставиться у відповідність даній матриці і обчислюється за її елементами таким чином:

(1.1)

або

, (1.2)

де доповнюючий мінор до елемента (визначник - го

порядку, який одержується із визначника - го порядку шляхом викреслення - го рядка і - го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент Формула (1.1) дає розклад визначника за елементами - го рядка, а (1.2) - за елементами - го стовпця.

2. Визначники 2-го і 3-го порядку. Визначником 2-го порядку, що відповідає матриці називається число, яке обчислюється за формулою (1.1) або (1.2)

(1.3)

Аналогічно, якщо матриця то відповідним її визначником 3-го порядку називається число

(1.4)

АР-1.1

1. Обчислити визначники 2-го порядку:

а) ; б) ;

в) .

(Відповідь: а) 1 ; б) 4ab ; в) 0 ).

2. За правилом трикутників обчислити визначники 3-го порядку:

а) ; б) .

(Відповідь: а) -5 ; б) -36 ) .

3. Розв’язати нерівності:

а) ; б) .

(Відповідь: а) ; б) ).

4. Не розкриваючи визначників, довести тотожності:

а) ;

б) .

5. Обчислити визначники, розклавши їх відповідно за елементами 3-го рядка і 2-го стовпця:

а) ; б) .

(Відповідь: а) ; б) ).

6. Обчислити визначники:

а) , б) ,

в) , г) .

(Відповідь: а) 16; б) 20; в) 0; г) 27).

CР-1.1

Обчислити визначники:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

ІДЗ-1.1

Для даного визначника знайти мінори і алгебраїчні допов-

нення елементів .

Обчислити визначник :

а) розклавши його за елементами i-го рядка,

б) розклавши його за елементами j-го стовпця,

в) отримавши попередньо нулі в і-му рядку.

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8. ,

9. , 10. ,

11. , 12. ,

13. , 14. ,

15. , 16. ,

17. , 18. ,

19. , 20. ,

21. , 22. ,

23. , 24. ,

25. , 26. ,

27. , 28. ,

29. , 30. ,

РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА

Для даного визначника

знайти мінори і алгебраїчні доповнення елементів і .

Обчислити визначник :

а) розклавши його за елементами першого рядка,

б) розклавши його за елементами другого стовпця,

в) отримавши попередньо нулі в першому рядку.

Знаходимо:

,

.

Алгебраїчні доповнення елементів і відповідно рівні:

,

.

a) Розкладемо визначник за елементами першого рядка:

=

==

=+

+.

б) Розкладемо визначник за елементами другого стовпця:

=

=+

=

.

в) Обчислимо , отримавши попередньо нулі в першому рядку. Використаємо властивість визначників. Помножимо другий стовпець визначника на і додамо до першого, потім помножимо на і додамо до третього. Тоді в першому рядку всі елементи, крім одного, будуть нулями. Розкладемо отриманий таким чином визначник за елементами першого рядка і обчислимо його:

==

==

=.

У визначнику третього порядку отримали нулі в третьому стовпці за відповідною властивістю визначників.

9