7.2. Аналитическое представление функций алгебры логики

Существует много способов задания логических функций. Кроме табличного, используемого выше, при анализе ФАЛ используется аналитическая запись.

Рассмотрим фиксированный набор переменных , на котором задана ФАЛ. Так как существует переменная, то набор значений переменных представляет собой некоторое двоичное число. Пусть номер набора будет двоичное число, получаемое таким образом:

Пусть имеется функция

- называется термом.

Дизъюнктивный терм (макстерм) – это, связывающий все переменные знаком дизъюнкций (“конституэнта 0”).

Пример:

Конъюнктивный терм (минтерм) - это терм, связывающий все переменные знаком конъюнкции (“конституэнта 1”).

Ранг терма определяется количеством переменных, входящих в заданный терм.

Любая ФАЛ может быть представлена дизъюнкцией минтермов.

–нормальная дизъюнктивная форма (НДФ) – объединение минтермов переменного ранга. В этой форме вместо дизъюнкции может использоваться .

Любая ФАЛ может быть представлена конъюнкцией макстермов

, где k – количество двоичных наборов, для которых. Такое представление называется НКФ, знак конъюнкции может быть заменен .

7.3. Совершенные нормальные формы

НКФ и НДФ не дают однозначного представления функции. Такое представление получается только при совершенных НФ.

СНДФ – ФАЛ, заданная в виде: , гдеи

.

Основные свойства СНДФ:

• В СНДФ нет двух одинаковых минтермов;

• В СНДФ ни один минтерм не содержит двух одинаковых множителей (переменных);

• В СНДФ ни один минтерм не содержит вместе с переменной и её отрицание.

Выписывать в СНДФ имеет смысл только конституэнты 1, соответствующие единичным наборам функции.

Любая ФАЛ, кроме абсолютно истинной функции, может быть представлена в СНДФ:

Пример: Функция задана таблицей истинности.

Представим ее в СНДФ и СНКФ.

0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

СДНФ:

СКНФ:

Способы преобразования НФ в СНФ. СНФ отличается от НФ тем, что содержит термы максимального ранга и даёт однозначное представление функции.

Произвольная НДФ переводится в СДНФ таким образом:

Пусть , тогда, где– переменная, которая не входит в данный терм.

Пример: Преобразовать ФАЛ в СДНФ:

Произвольная НКФ переводится в СКНФ таким образом, пусть , тогда

7.4. Системы функций алгебры логики

Любая булева функция может быть представлена одной из НФ. Эти формы используют ограниченное число элементарных булевых функций.

Например: для СДНФ такие функции .

Следовательно, существуют системы ФАЛ с помощью которых можно аналитически представить любую сколь угодно сложную булеву функцию. Проектирование ЦА основано на знании таких систем ФАЛ из которых можно построить произвольный ЦА.

Базисом, функционально полной системой булевых функций (ФПСБФ) называют совокупность таких булевых функций , что произвольная ФАЛ может быть записана в виде формулы через функции этой совокупности.

ФПСБФ:

Определим свойства, которыми должна обладать функция, составляющие ФПСБФ. Рассмотрим предполные классы ФАЛ. Проведённые исследования показали, что предполных классов – 5, а для построения ФПСБФ необходимо и достаточно, чтобы её функции не содержались полностью ни в одном из 5 предполных классов.

Предполные классы ФАЛ:

1. класс функций, сохраняющих const 0

2. класс функций, сохраняющих const 1

3. класс самодвойственных булевых функций

4. класс линейных булевых функций

5. класс монотонных булевых функций

Функции класса 2. Если функция на единичном наборе = 1, то говорят, что она сохраняет единицу .

Функция класса 1. – .

Функции класса 3. ФАЛ называют самодвойственной, если на каждой паре противоположных наборов она принимает противоположные значения, то есть

Функции класса 4. К линейным ФАЛ относятся функции, которые могут представить в виде , где.

Функции класса 5. ФАЛ называют монотонной, если при любом возрастании набора значения этой функции не убывают.

Теорема Поста-Яблонского. Для того, чтобы система ФАЛ была функционально полной, необходимо и достаточно, чтобы она содержала хотя бы одну функцию:

• не сохраняющую 0,

• не сохраняющую 1,

• не являющуюся линейной,

• немонотонную,

• не самодвойственную.

Рассмотрим примеры ФПСБФ:

				Функция	классы
00	01	10	11
0	0	0	0
0	0	0	1
0	0	1	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	0	1
0	1	1	0
0	1	1	1
1	0	0	0		+	+	+	+	+
1	0	0	1
1	0	1	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	0	1
1	1	1	0		+	+	+	+	+
1	1	1	1

Функции иявляются ФПСБФ. Из таблицы можно получить и другие ФПСБФ: