Глава 7 Основы логического проектирования ца. Основные понятия алгебры логики.

Для формального описания ЦА широко применяют аппарат алгебры логики (раздел математической логики).

Основное понятие алгебры логики – высказывание– некоторое предложение, о котором может утверждать, что оно истинно или ложно.

Любое высказывание , если оно истинно и, если оно ложно.

Логическая(булева)переменная– такая величина, которая может принимать только два значения:.

Высказывание абсолютно истинно, если при любых условиях.

Пример:

Высказывание абсолютно ложно, если при любых условиях.

Логическая функция(функция алгебры логики ФАЛ) – функция, принимающая значение 0 или 1 на наборе логических переменных.

Логическая функция от одной переменной:

0	1	0	0	1
1	1	0	1	0

- константа единицы

- константа нуля

тождественная функция

логическое отрицание, функция НЕ.

Логическая функция от двух переменных

Ф-ия					Элементарные функции
	00	01	10	11
	0	0	0	0
	0	0	0	1	(конъюнкция)
	0	0	1	0	(запрет)
	0	0	1	1
	0	1	0	0	(запрет)
	0	1	0	1
	0	1	1	0	(сложение по mod 2)
	0	1	1	1	(дизъюнкция)
	1	0	0	0	(стрелка Пирса) ИЛИ-НЕ)
	1	0	0	1	(равнозначность)
	1	0	1	0
	1	0	1	1	(импликация)
	1	1	0	0
	1	1	0	1	(импликация)
	1	1	1	0	(штрих Шеффера) И-НЕ)
	1	1	1	1

Дизъюнкция(логическое сложение, функция ИЛИ) функция истинна, когда истинны , или , или обе переменные.

Конъюнкция(логическое умножение, функция И) функция истинна только тогда, когда истинны и .

Штрих Шеффера – функция ложна только тогда, когда и истинны.

Стрелка Пирса (Вебба) – функция истинна только тогда, когда и ложны.

Импликация – функция , которая ложна тогда и только тогда, когдаистинно и ложно.

Булевы переменные могут быть действительными и фиктивными.

Переменная действительная, если значение функцииизменяется при изменении ; -фиктивная, еслине изменяется при изменении .

7.1. Свойства элементарных функций алгебры логики

Функции И, ИЛИ, НЕ в совокупности с логическими переменными (число их не менее 2; , ) образуют булеву алгебру.

Для неё справедливы аксиомы:

1.

2. ,(идемпотентность)

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

Для булевой алгебры справедливы свойства:

1. ассоциативность

;

;

2. коммутативность

; ;

3. дистрибутивность

;

.

Для булевой алгебры справедливы законы де Моргана:

;

;

Докажем, например, закон де Моргана

0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Для булевой алгебры справедливы законы поглощения и склеивания.

; - поглощение

; - склеивание

0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0
0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	0	1	1	1

Свойства, аксиомы и теоремы булевой алгебры обладают дуальностью (т.е. функция И дуальна функции ИЛИ, а “1” дуальна “0”). При отсутствии в логическом выражении скобок первыми должны выполняться операции НЕ, затем И и последними – ИЛИ.

Пример:

найти его отрицание и проверить с помощью закона де Моргана.

1.

2.

Рассмотрим теперь алгебру Жегалкина, состоящей из операций И, и операции константа 1. Для неё справедливы такие свойства.

1. , (коммутативность)

2. , (ассоциативность)

3. (дистрибутивность)

Для неё справедливы аксиомы:

В алгебре Жегалкина нет принципа дуальности.

Связь между алгебрами Буля и Жегалкина устанавливается с помощью таких тождеств:

; ;

;