3. Алгоритм умножения

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возника­ет этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Умножим, например, столбиком 428 на 263.

428

 263

1284

+ 2568

856__

112564

Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по - особому, поместив единицы числа 2568 под десятками числа 1284, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 - это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:

- умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

- складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное.

Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чи­сел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде 410²+210+8 и тогда 4283=(410²+210+8)3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (410²+(210)3+83. Произведения в скобках могут быть найде­ны по таблице умножения однозначных чисел: 1210²+610+24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 1210²+610+24 - коэф­фициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1·10+2, а число 24 в виде 2·10+4. Затем в выражении (1·10+2)·10²+6·10+(2·10+4) раскроем скобки: 1·10³+2·10²+6·10+2·10+4. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6·10 и 2·10 и вынесем 10 за скобки: 1·10³+2·10²+(6+2)·10+4. Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 1· 10³+2·10²+8·10+4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т. е. 428·3=1284.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

• записи чисел в десятичной системе счисления;

• свойствах сложения и умножения;

• таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде.

Пусть требуется умножить х=а_n10ⁿ+а_n–110^n–1+…+а₁10+а₀ на однозначное число у:

ху=(а_n10ⁿ+а_n–110^n–1+…+а₁10+а₀)у=(а_nу)10ⁿ+(а_n–1 у)10^n–1+…+а₀у причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения а_kу, где 0kn, соответствующими значениями а_kу=b_k10+с и получаем:

ху=(b_п10+с_п)+(b_п-110+с_п-1)10^п-1+...+(b₁10+с₁)10+(b₀10+с₀)= =b_п10^п+1+(с_п+b_п-1)10^п+...+(с₁+b₀)10+с₀. По таблице сложения заменяем суммы с_k+b_k-1, где 0kn и k=0,1,2, ...,n, их значениями. Если, например, с₀ однозначно, то последняя цифра произведения равна с₀ . Если же с₀=10+m₀, то последняя цифра равна m₀ , а к скобке (с₁ + b₀) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х  у.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм умножения многозначного числа на однозначное число у.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q₁+с₀, где с₀ – однозначное число; записываем с₀ в разряд единиц ответа и запоминаем q₁ - перенос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к полученному произведению число q₁ и повторяем процесс, описанный пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х на число вида 10^k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Покажем это. Умножим число х=а_n10ⁿ+а_n–110^n–1+…+а₁10+а₀ на 10^k:

(а_n10ⁿ+а_n–110^n–1+…+а₁10+а₀)10^k=а_n10^n+k+а_n–110^n+k–1+…+а₀10^k. Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа , так как равно

a_n10^n+k+а_n–110^n+k–1+…+а₀10^k+010^k-1+010^k–2+…+010 +0.

Например,

347·10³=(3·10²+4·10+7)·10³=3·10⁵+4·10⁴+7·10³=3·10⁵+4·10⁴+7·10³+0·10²+ +0·10+0= =347000

Заметим еще, что умножение на число у10^k , где у – однозначное число сводится к умножению на однозначное число у и на число 10^k . Например, 52300=52(310²)=(523)10²=15610²=15600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428263. Представим число 263 в виде суммы 210²+610+3 и запишем произведение 428(210² + 610 + 3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428(210²) + 428(610) + 4283. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (4282) 10²+(4286)10+4283. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2,6 и 3, а также на степени 10.

Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде.

Пусть х и у - многозначные числа, причем у=b_m10^m+b_m–110^m–1+…+b₀. В силу дистрибутивности умножения относитель­но сложения, а также ассоциативности умножения можно записать:

ху=х(b_m10^m+b_m–110^m–1+…+b₀)=(хb_m)10^m+(хb_m–1)10^m–1+…+b₀х. Последовательно умножая число х на однозначные числа b_m, b_m–1, …, b₀, а затем на 10^m, 10^m–1, …, 1, получаем слагаемые, сумма которых равна х у.

Сформулирует в общем виде алгоритм умножения числа х=на число у =.

1. Записываем множитель х под ним второй множитель у.

2. Умножаем число х на младший разряд b₀ числа у и записываем произведение х  b₀ под числом у.

3. Умножаем число х на следующий разряд b₁ числа у и записываем произведение хb₁, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х  b₁ на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления хb_k.

5. Полученные k+1 произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосно­вании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:

428  3 = (400 + 20 + 8)  3 = 400 3 + 20 3 + 8 3 = 1200 + 60 + 24 = 1284.

Основой выполненных преобразований являются:

• представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

• правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

• умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.