4. Количественные натуральные числа. Счет

Аксиоматическая теория описывает натуральное число как эле­мент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рас­смотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.

Определение. Отрезком _а натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что _а = х  х и х  а

Например, отрезок N₇ - это множество натуральных чисел, не пре­восходящих числа 7, т. е. N₇ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.

1) Любой отрезок N_а содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка _а.

2) Если число х содержится в отрезке N_а и ха, то и непосредственно следующее за ним число х +1 также содержится в _а.

Действительно, если х _а и х  а, то х < а. Это означает, что существует такое натуральное число с, что а=х+с. Если с=1, то а=х+1, а значит, х+1 содержится в _а. Если же с > 1, то с - 1 - натуральное число и, следовательно, а=х+с=(х+1)+(с-1). Но тогда х+1 <а, т.е. х+1 - натуральное число, принадлежащее отрезку _а.

Определение. Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N_а натурального ряда.

Например, множество А вершин треугольника - конечное множество, так как оно равномощно отрезку N₃ = {1, 2, 3}, т.е. А  N₃.

Теорема. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку N_а, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.

Например, если А - множество вершин треугольника, то n (А) = 3. Из данного определения и теоремы получаем, что для любого непустого конечного множества А число а = n(А) единственное.

Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.

В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соответствует число 1, - первый; элемент, которому сопоставлено число 2, - второй, и т.д.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.