3. Размещения и сочетания

Правила суммы и произведения – это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторике пользуются формулами для подсчета числа отдельных видов комбинаций, которые встречаются наиболее часто. Рассмотрим некоторые из них и прежде всего те, знание которых необходимы учителю начальных классов.

Используя цифры 7, 4 и 5, мы образовали различные двузначные числа: 77, 74, 75, 47, 44, 45, 57, 54, 55. В записи этих чисел цифры повторяются.

С теоретико–множественной точки зрения запись любого двузначного числа – это кортеж длины 2. Записывая различные двузначные числа с помощью цифр 7, 4 и 5, мы по сути дела образовывали из данных трех цифр различные кортежи длины 2 с повторяющимися элементами. В комбинаторике такие кортежи называют размещениями с повторениями из трех элементов по два элемента.

Определение. Размещением с повторениями из к элементов по т элементов – это кортеж, составленный из т элементов к – элементного множества.

Из определения следует, что два размещения из k элементов по m элементов отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Например, два двузначных числа из перечисленных выше (а это размещения из трех элементов по два) отличаются друг от друга либо составом элементов (74 и 75), либо порядком их расположения (74 и 47).

Относительно размещений часто возникает вопрос: «Сколько всевозможных размещений по т элементов каждое можно образовать из k элементов данного множества?». Например, сколько всевозможных двузначных чисел можно записать, используя цифры 7, 4 и 5?

Число всевозможных размещений с повторениями из к элементов по m элементов обозначают и подсчитывают по формуле. Выведем эту формулу.

Пусть в множестве Х содержится k элементов. Будем образовывать из них различные кортежи по m элементов. Такие кортежи образуют множество Х  Х  … Х, содержащее m множителей. По правилу произведения

n(ХХ…Х)===k^m

Следовательно, . Пользуясь этой формулой, легко подсчитать, сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 7, 4 и 5. Так как речь идет о размещениях с повторениями из трех элементов по два, то Нередко встречаются задачи, в которых требуется подсчитать число кортежей длиныm, образованных из k элементов некоторого множества, но при условии, что эти элементы не повторяются. Такие кортежи называются размещениями без повторений из k элементов по m элементов.

Определение. Размещение без повторений из k элементов по т элементов – это кортеж, состоящий из неповторяющихся элементов множества, в котором k элементов.

Число всевозможных размещений без повторений из k элементов по m элементов обозначают и подсчитывают по формуле =k  (k – 1) … (k – m + 1).

Выведем эту формулу.

Пусть в множестве Х содержится k элементов. Будем образовывать из них различные размещения без повторений из m элементов. Тогда выбор первого элемента таких кортежей можно осуществить k способами; если первый элемент выбран, то выбор второго элемента можно осуществить k – 1 способом (так как после выбора первого элемента кортежа в множестве Х остается k – 1 элемент). Третий элемент размещения можно выбрать k – 2 способами и т. д., m–й элемент можно выбрать k – (m – 1) способами. На выбор упорядоченного набора из m элементов можно осуществить k( k – m– 1) …(k – m +1) способами. Значит, =.

Например, число двузначных чисел, записанных с помощью цифр 7, 4 и 5 так, что цифры в записи не повторяются, есть число размещений без повторений их трех элементов по два: = 3 (3 – 1) = 3 2 = 6.

Задача 1. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 7, 4 и 5, так, чтобы цифры в записи числа не повторялись?

Решение. В задаче рассматриваются размещения без повторений из трех элементов по три, и их число можно подсчитать по формуле: = 3 (3 – 1)  (3 – 2) = 321 = 6.

Эти числа таковы: 745, 754, 475, 457,547,574.

Заметим, что в данном случае разные числа получаются в результате перестановки цифр. Поэтому размещения из k элементов по k элементов называют перестановкой из k элементов без повторений.

Число перестановок без повторений из k элементов обозначают Р_k и подсчитывают по формуле Р_k = k!, где k! = 123…k и k! читают «k факториал». Считают, что 1! = 1, 2! = 1. Например, 5! = 12345= 120; 7! =1234567 = 5040.

Из элементов множества Х = 7, 4, 5 можно образовывать не только кортежи различной длины, но и различные подмножества, например, двухэлементные. В комбинаторике их называют сочетаниями без повторений из трех элементов по два элемента.

Определение. Сочетанием без повторений из k элементов по m элементов – это m – элементов подмножество множества, содержащего k элементов.

Два сочетания из к элементов по m – элементов отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число всевозможных сочетаний без повторений из k элементов по m элементов обозначают . Как находить это число?

Обратимся сначала к примеру. Образуем различные двухэлементные подмножества из элементов множества Х = 7, 4, 5. Их будет три: 7, 4, 7, 5, 4, 5. Из элементов каждого такого подмножества можно образовать 2! Кортежей длины 2:

(7,4) (7,5) (4,5)

(4,7) (5,7) (5,4)

Все полученные кортежи являются размещениями без повторения из трех элементов по два и их число равно = 3 2 = 6. Но, с другой стороны, это число равно произведению 2!  =.

Докажем справедливость этой зависимости в общем виде, т.е., что .

Пусть в множестве Х содержится k элементов. Образуем из них сочетания без повторений по m элементов. Они будут представлять собой m – элементные подмножества множества Х. Всего таких подмножеств будет .

Из элементов каждого m – элементного подмножества можно образовать m! перестановок, т.е. кортежей длины m. В итоге получаем m! кортежей длиныm, образованных из к элементов множества Х. Их число равно .

Таким образом, =m! , откуда получаем.

Конечно, применение формул облегчает подсчет числа возможных вариантов решений той или иной комбинаторной задачи. Однако, чтобы воспользоваться той или иной формулой необходимо определить вид соединений, комбинаций, о которых идет речь в задаче, что бывает сделать не очень просто.

Выясним, например, о каких комбинациях идет речь в следующих задачах:

1. Сколько всего двузначных чисел?

2. Сколько всего двузначных чисел, в записи которых цифры не повторяются?

3. На прямой взяли десять точек. Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются эти точки?

В первой задаче двузначные числа образуются из 10 цифр, причем цифры в записи числа могут повторяться (в задаче нет условия о том, что цифры в записи могут не повторятся). Используя теоретико-множественную терминологию, можно сказать, что в ней речь идет об упорядоченных наборах (кортежах) из 10 элементов по 2 с повторениями. В комбинаторике такие кортежи называются размещениями с повторениями из 10–ти элементов по 2. Их число можно найти по формуле = 10²= 100. Но среди этих кортежей есть такие, у которых на первом месте стоит цифра 0 и которые не могут рассматриваться как запись двузначного числа. Таких кортежей 10, их надо вычесть из 100. Таким образом, двузначных чисел всего 90.

Конечно, эту задачу можно было решить проще, применив правило произведения: первую цифру из записи двузначного числа можно выбрать девятью способами, вторую десятью, а упорядоченную пару – 9  10 = 90 способами.

Во второй задаче также рассматриваются кортежи длины 2, образованные из 10 элементов (цифр), но элементы в них не повторяются. Такие кортежи в комбинаторике называются размещением без повторений из 10–ти элементов по 2. Их число можно найти по формуле = 10 (10 – 1) = 90, но из этого числа надо вычесть кортежи, у которых на первом месте стоит цифра 0, и они не могут представлять запись двузначного числа. Таких кортежей 9. Поэтому двузначных чисел, в записи которых цифры не повторяются, 90 – 9 = 81.

Другой характер имеют комбинации, о которых идет речь в третьей задаче. Действительно, если для записи чисел в первых двух задачах важен порядок следования цифр (так, 23 и 32 – это различные числа), то в третьей задаче он роли не играет (отрезок АВ и отрезок ВА – это один и тот же отрезок). Комбинации в этой задаче являются двухэлеменными подмножествами, образованными из 10–ти данных элементов (точек). Такие подмножества в комбинаторике называются сочетаниями без повторений из 10 элементов по 2. Их число можно найти по формуле: = 45.