- •Министерство образования и науки украины
- •Содержание
- •Пояснительная записка
- •Структура курса
- •Модуль 1. Множества
- •Тема 1. Множества и операции над ними
- •Введение
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2.Способы задания множества
- •3. Отношения между множествами. Подмножество
- •Примеры
- •4. Круги Эйлера-Венна
- •Практическая работа. Понятие множества
- •Тема 2. Операции над множествами
- •1. Пересечение множеств
- •2. Объединение множеств
- •3. Законы пересечения и объединения множеств
- •Определение. Для любых множеств а, в и с выполняются равенства:
- •4. Вычитание множеств. Дополнение подмножества
- •Практическая работа. Операции над множествами
- •Вопросы к изучению
- •Основные понятия
- •Обозначения
- •Практическая часть
- •Тема 2.1. Понятие разбиения множества на классы
- •1. Понятие разбиения множества на классы
- •Практическая работа. Разбиение множества на классы
- •Вопросы к изучению
- •Обозначения
- •Правила
- •Тема 2.2. Декартово произведение множеств
- •1. Декартово произведение множеств
- •2. Свойства операции нахождения декартова произведения
- •3. Кортеж. Длина кортежа
- •Практическая работа. Декартово произведение
- •Вопросы к изучению
- •Обозначения
- •Правила
- •Тема 3. Понятие соответствия Содержание
- •1. Понятие соответствия между множествами
- •Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
- •2. Способы задания соответствий
- •3. Соответствие обратное данному
- •4. Взаимно однозначные соответствия
- •5. Равномощные множества
- •Практическая работа. Соответствия между двумя множествами
- •Тема 4. Числовые функции
- •1. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. Прямая и обратная пропорциональности
- •Основные понятия темы
- •Основные выводы, замечания
- •Тема 5. Отношения на множестве
- •1. Понятие отношения между элементами одного множества
- •2. Способы задания отношений
- •3. Свойства бинарных отношений
- •Практическая работа. Отношения на множестве
- •Тема 6. Выражение. Уравнение. Неравенство
- •Выражения и их тождественные преобразования.
- •1. Выражения и их тождественные преобразования
- •3. Уравнения с одной переменной
- •4. Неравенства с одной переменной
- •Практическая работа. Выражения и их преобразования. Числовые равенства и неравенства с одной переменной.
- •Практическая работа. Уравнения и неравенства с одной переменной.
- •Контрольная (зачетная) работа
- •Модуль 2. Математические утверждения и их структура
- •Тема 7. Математические понятия Содержание
- •1. Математические понятия. Объем и содержание понятия
- •Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно а и в.
- •2. Отношение рода и вида между понятиями
- •4. Требования к определению понятий
- •5. Неявные определения
- •Практическая работа. Математические понятия
- •Вопросы к изучению
- •Представления о математических понятиях -
- •Обозначения
- •Тема 8. Высказывания и высказывательные формы
- •2. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний
- •3. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм
- •Практическая работа. Высказывания и высказывательные формы
- •Тема 8.1. Высказывания с квантором. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •1. Высказывания с кванторами
- •2. Истинность высказываний с кванторами
- •3. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •Практическая работа. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •Тема 8.2. Отношения следования и равносильности между предложениями
- •1. Отношения следования между предложениями
- •2. Отношения равносильности между предложениями
- •Практическая работа. Отношения следования и равносильности между предложениями
- •Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Обозначения
- •Тема 8.3. Структура теоремы. Виды теорем
- •1. Структура теоремы
- •2. Отличие теоремы от правила
- •3. Виды теорем
- •Практическая работа. Структура теоремы. Виды теорем
- •Тема 9. Математическое доказательство
- •1. Понятие умозаключения.
- •2. Дедуктивные умозаключения Умозаключения, построенные по схеме
- •3. Индуктивные умозаключения. Полная индукция
- •Все s1, s2,..., Sп исчерпывают весь класс s (4) Все s есть р
- •4. Неполная индукция
- •5. Математическая индукция
- •6. Аналогия
- •7. Умозаключения «от противного»
- •8. Некоторые виды неправильных умозаключений
- •9. Логическая структура математической задачи
- •10. Закон достаточного основания и аксиоматический метод в математике
- •Практическая работа. Математическое доказательство
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 10. Текстовая задача и процесс ее решения
- •1. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач
- •2. Структура процесса решения текстовой задачи
- •2. Методы и способы решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •1. Анализ задачи
- •4. Поиск и составление плана решения задачи
- •5. Осуществление плана решения задачи
- •6. Проверка решения задачи
- •7. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Практическая работа. Текстовая задача и процесс ее решения
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 11. Комбинаторные задачи и их решение
- •1. Комбинаторика
- •2. Правила суммы и произведения
- •3. Размещения и сочетания
- •Практическая работа. Комбинаторные задачи и их решение
- •Вопросы для коллоквиума
- •Модуль 3. Целые неотрицательные числа
- •Тема 12. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •1. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •2. Об аксиоматическом способе построения теории
- •3. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •4. Количественные натуральные числа. Счет
- •Семинарское занятие. История возникновения понятия натурального числа Вопросы к изучению
- •Вопросы для самоконтроля
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 13. Теоретико-множественный подход к построению натурального ряда чисел. Теоретико-множественный смысл арифметических действий.
- •1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •2. Теоретико-множественный смысл суммы
- •3. Теоретико-множественный смысл разности
- •4. Теоретико-множественный смысл произведения
- •5. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Практическая работа. Теоретико–множественный смысл суммы, разности, произведения, частного и отношения «меньше»
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Тема 14. Позиционные и непозиционные системы исчисления
- •1. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •2. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Практическая работа. Запись целых неотрицательных чисел
- •Теоретическая часть
- •Основные понятия темы
- •Тема 15. Алгоритмы действий над целыми неотрицательными числами
- •1. Алгоритм сложения
- •2. Алгоритм вычитания
- •3. Алгоритм умножения
- •4. Алгоритм деления
- •Практическая работа. Алгоритмы арифметических действий
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Тема 16. Отношение делимости и его свойства Содержание
- •Признаки делимости.
- •Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
- •1. Отношение делимости и его свойства
- •2. Признаки делимости
- •3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •4. Простые числа
- •5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •Практическая работа. Делимость натуральных чисел
- •Тема 17. О расширении множества натуральных чисел
- •1. Понятие дроби
- •2. Положительные рациональные числа
- •3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •4. Действительные числа
- •Практическая работа. Действия над положительными действительными числами
- •Вопросы к коллоквиуму
- •Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»
- •Теоретико-множественный смысл суммы.
- •Теоретико-множественный смысл разности.
- •Признаки делимости.
- •Тема 18. Натуральное число как мера величины. Измерение величин
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины
- •3. Смысл суммы и разности
- •Практическая работа. Понятие положительной скалярной величины
- •Практическая работа. Обоснование выбора действий при решении текстовых задач в начальной школе
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Определения, теоремы, выводы
- •Тема 19. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства
- •1. Понятие геометрической фигуры
- •2. Углы
- •3. Параллельные и перпендикулярные прямые
- •4. Треугольники
- •5. Четырехугольники
- •Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
- •1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- •2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы раны.
- •6. Многоугольники
- •7. Окружность и круг
- •8. Построение геометрических фигур на плоскости.
- •1. Построить на данной прямой отрезок со, равный данному отрезку ав.
- •2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
- •3. Найти середину отрезка.
- •4. Построить биссектрису данного угла.
- •5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
- •9. Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования
- •1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия).
- •2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия).
- •3. Гомотетия.
- •10. Движения и равенство фигур
- •Практическая работа. Решение геометрических задач
- •Практическая работа. Основные задачи на построение на плоскости
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 20. Изображения пространственных фигур
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Практическая работа. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 21. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •2. Величина угла и ее измерение
- •3. Понятие площади фигуры и ее измерение
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Практическая работа. Геометрические величины
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Правила, замечания
- •Практическая часть
- •Список литературы
- •Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений специальности: «начальное обучение»
- •Глузман Неля Анатольевна Кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой методик начального и дошкольного образования рвуз «Крымский гуманитарный университет» (г. Ялта)
7. Моделирование в процессе решения текстовых задач
Текстовая задача – это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, т.е. построить математическую модель.
Вообще, математическая модель – это описание какого-либо реального процесса на математическом языке.
Математической моделью текстовой задачи является выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение (либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом.
В процессе решения задачи четко выделяются три этапа математического моделирования:
1 этап – это перевод условий задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними;
2 этап – внутримодельное решение (т.е. нахождение значения выражения, выполнение действий, решение уравнения);
3 этап – интерпретация, т.е. перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована задача.
Проиллюстрируем сказанное на примере решения алгебраическим методом следующей задачи: «В одном вагоне электропоезда было пассажиров в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого вагона вышли 3 человека, а во второй вагон вошли 7 человек, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?»
Обозначим через х первоначальное число пассажиров во втором вагоне. Тогда число пассажиров в первом вагоне – 2х. Когда из первого вагона вышли 3 человека, в нем осталось 2х – 3 пассажира. Во второй вагон вошли 7 человек, значит, в нем стало х + 7 пассажиров. Так как в обоих вагонах пассажиров стало поровну, то можно записать, что 2х – 3 = х + 7. Получили уравнение – это математическая модель данной задачи.
Следующий этап – решение полученного уравнения вне зависимости от того, что в нем обозначает переменная х: переносим в левую часть члены уравнения, содержащие х, а в правую – не содержащие х, причем у переносимых членов знаки меняем на противоположные: 2х – х = 7 + 3. Приводим подобные члены и получаем, что х = 10.
Последний, третий этап – используем полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи: во втором вагоне было первоначально 10 человек, а в первом – 20 (10·2=20).
Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи представляет перевод текста с естественного языка на математический, т.е. 1 этап математического моделирования. Чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели – схемы, таблицы и др. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы, рисунки и т.д.); от нее – к математической, на которой и происходит решение задачи. Такой подход к процессу решения задачи разделяют и психологи. Они считают, что процесс решения задачи есть сложный процесс поиска системы моделей и определенной последовательности перехода от одного уровня моделирования к другому, более обобщенному, что решение задачи человеком есть процесс ее переформулирования. При этом используется такая операция мышления, как анализ через синтез, когда объект в процессе мышления включается во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах. Главным средством переформулирования является моделирование.
Прием моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта (в нашем случае текстовой задачи) выбирают (или строят) другой объект, в каком-то отношении подобный тому, который исследуют. Построенный новый объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат переносят на первоначальный объект. Модели бывают разные, и поскольку в литературе нет единообразия в их названиях, уточним терминологию, которую будем использовать в дальнейшем.
Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для построения.
Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают.
Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких – либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных полосок и т. д.), они могут быть представлены разного рада инсценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.
Графические модели используются, как правило, для обобщенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:
рисунок;
условный рисунок;
чертеж;
схематичный чертеж (или просто схема).
Разъясним суть этих моделей на примере задачи: «Лида нарисовала 4 домика, а Вова на 3 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?»
Рисунок в качестве графической модели этой задачи имеет вид:
Л.
В.
?
Условный рисунок может быть таким, как на рисунке:
Л.
В.
?
Чертеж как графическая модель выполняется при помощи чертежных инструментов с соблюдением заданных отношений.
Л. 1д.
В.
?
Схематический чертеж (схема) может выполнятся от руки, на нем указываются все данные и искомые.
4 д.
Л.
3 д.
В.
?
Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись задачи, таблицы. Например, краткая запись задачи о домиках Лиды и Вовы может быть такой:
Л. – 4 д.
В. - ?, на 3 д. больше, чем
Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями. Пример такой таблицы мы уже рассматривали.
Знаковыми моделями текстовых задач, выполненных на математическом языке, являются: выражение, уравнение, система уравнений, запись решения по действиям. Поскольку на этих моделях происходит решение задачи, их называют решающими моделями. Остальные модели, все схематизированные и знаковые, выполненные на естественном языке, - это вспомогательные модели, которые обеспечивают переход от текста задачи к математической модели.
Не следует думать, что всякая краткая запись или чертеж, выполненные для данной задачи, являются ее моделями. Так как модель – это своеобразная копия задачи, то на ней должны быть представлены все ее объекты, все отношения между ними, указаны требования. Для большинства текстовых задач приходится строить различные вспомогательные модели. С одной стороны, эти модели представляют собой результат анализа задачи, но с другой – построение таких моделей организует и направляет детальный и глубокий анализ задачи.
Рассмотрим процесс решения арифметическим методом текстовой задачи о пассажирах в двух вагонах.
Предварительный анализ задачи позволяет выделить ее объекты – это пассажиры в двух вагонах поезда. О них известно, что: 1) В первом вагоне в 2 раза больше пассажиров, чем во втором. 2) Из первого вагона вышли 3 пассажира. 3) Во второй вошли 7 пассажиров. 4) В первом и втором вагонах пассажиров стало поровну.
В задаче два требования: 1) Сколько пассажиров было первоначально в первом вагоне? 2) Сколько пассажиров было первоначально во втором вагоне?
Построим графическую модель данной задачи в виде схематического чертежа:
3 ч.
I
? 7 ч.
II
?
По схеме сразу видно, что математическая модель данной задачи имеет вид:
7+ 3 – это число пассажиров во втором вагоне, а (7 + 3) · 2 – это число пассажиров в первом вагоне.
Произведя вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: во втором вагоне было 10 пассажиров, а в первом – 20 пассажиров.