- •Министерство образования и науки украины
- •Содержание
- •Пояснительная записка
- •Структура курса
- •Модуль 1. Множества
- •Тема 1. Множества и операции над ними
- •Введение
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2.Способы задания множества
- •3. Отношения между множествами. Подмножество
- •Примеры
- •4. Круги Эйлера-Венна
- •Практическая работа. Понятие множества
- •Тема 2. Операции над множествами
- •1. Пересечение множеств
- •2. Объединение множеств
- •3. Законы пересечения и объединения множеств
- •Определение. Для любых множеств а, в и с выполняются равенства:
- •4. Вычитание множеств. Дополнение подмножества
- •Практическая работа. Операции над множествами
- •Вопросы к изучению
- •Основные понятия
- •Обозначения
- •Практическая часть
- •Тема 2.1. Понятие разбиения множества на классы
- •1. Понятие разбиения множества на классы
- •Практическая работа. Разбиение множества на классы
- •Вопросы к изучению
- •Обозначения
- •Правила
- •Тема 2.2. Декартово произведение множеств
- •1. Декартово произведение множеств
- •2. Свойства операции нахождения декартова произведения
- •3. Кортеж. Длина кортежа
- •Практическая работа. Декартово произведение
- •Вопросы к изучению
- •Обозначения
- •Правила
- •Тема 3. Понятие соответствия Содержание
- •1. Понятие соответствия между множествами
- •Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
- •2. Способы задания соответствий
- •3. Соответствие обратное данному
- •4. Взаимно однозначные соответствия
- •5. Равномощные множества
- •Практическая работа. Соответствия между двумя множествами
- •Тема 4. Числовые функции
- •1. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. Прямая и обратная пропорциональности
- •Основные понятия темы
- •Основные выводы, замечания
- •Тема 5. Отношения на множестве
- •1. Понятие отношения между элементами одного множества
- •2. Способы задания отношений
- •3. Свойства бинарных отношений
- •Практическая работа. Отношения на множестве
- •Тема 6. Выражение. Уравнение. Неравенство
- •Выражения и их тождественные преобразования.
- •1. Выражения и их тождественные преобразования
- •3. Уравнения с одной переменной
- •4. Неравенства с одной переменной
- •Практическая работа. Выражения и их преобразования. Числовые равенства и неравенства с одной переменной.
- •Практическая работа. Уравнения и неравенства с одной переменной.
- •Контрольная (зачетная) работа
- •Модуль 2. Математические утверждения и их структура
- •Тема 7. Математические понятия Содержание
- •1. Математические понятия. Объем и содержание понятия
- •Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно а и в.
- •2. Отношение рода и вида между понятиями
- •4. Требования к определению понятий
- •5. Неявные определения
- •Практическая работа. Математические понятия
- •Вопросы к изучению
- •Представления о математических понятиях -
- •Обозначения
- •Тема 8. Высказывания и высказывательные формы
- •2. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний
- •3. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм
- •Практическая работа. Высказывания и высказывательные формы
- •Тема 8.1. Высказывания с квантором. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •1. Высказывания с кванторами
- •2. Истинность высказываний с кванторами
- •3. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •Практическая работа. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •Тема 8.2. Отношения следования и равносильности между предложениями
- •1. Отношения следования между предложениями
- •2. Отношения равносильности между предложениями
- •Практическая работа. Отношения следования и равносильности между предложениями
- •Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Обозначения
- •Тема 8.3. Структура теоремы. Виды теорем
- •1. Структура теоремы
- •2. Отличие теоремы от правила
- •3. Виды теорем
- •Практическая работа. Структура теоремы. Виды теорем
- •Тема 9. Математическое доказательство
- •1. Понятие умозаключения.
- •2. Дедуктивные умозаключения Умозаключения, построенные по схеме
- •3. Индуктивные умозаключения. Полная индукция
- •Все s1, s2,..., Sп исчерпывают весь класс s (4) Все s есть р
- •4. Неполная индукция
- •5. Математическая индукция
- •6. Аналогия
- •7. Умозаключения «от противного»
- •8. Некоторые виды неправильных умозаключений
- •9. Логическая структура математической задачи
- •10. Закон достаточного основания и аксиоматический метод в математике
- •Практическая работа. Математическое доказательство
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 10. Текстовая задача и процесс ее решения
- •1. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач
- •2. Структура процесса решения текстовой задачи
- •2. Методы и способы решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •1. Анализ задачи
- •4. Поиск и составление плана решения задачи
- •5. Осуществление плана решения задачи
- •6. Проверка решения задачи
- •7. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Практическая работа. Текстовая задача и процесс ее решения
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 11. Комбинаторные задачи и их решение
- •1. Комбинаторика
- •2. Правила суммы и произведения
- •3. Размещения и сочетания
- •Практическая работа. Комбинаторные задачи и их решение
- •Вопросы для коллоквиума
- •Модуль 3. Целые неотрицательные числа
- •Тема 12. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •1. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •2. Об аксиоматическом способе построения теории
- •3. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •4. Количественные натуральные числа. Счет
- •Семинарское занятие. История возникновения понятия натурального числа Вопросы к изучению
- •Вопросы для самоконтроля
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 13. Теоретико-множественный подход к построению натурального ряда чисел. Теоретико-множественный смысл арифметических действий.
- •1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •2. Теоретико-множественный смысл суммы
- •3. Теоретико-множественный смысл разности
- •4. Теоретико-множественный смысл произведения
- •5. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Практическая работа. Теоретико–множественный смысл суммы, разности, произведения, частного и отношения «меньше»
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Тема 14. Позиционные и непозиционные системы исчисления
- •1. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •2. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Практическая работа. Запись целых неотрицательных чисел
- •Теоретическая часть
- •Основные понятия темы
- •Тема 15. Алгоритмы действий над целыми неотрицательными числами
- •1. Алгоритм сложения
- •2. Алгоритм вычитания
- •3. Алгоритм умножения
- •4. Алгоритм деления
- •Практическая работа. Алгоритмы арифметических действий
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Тема 16. Отношение делимости и его свойства Содержание
- •Признаки делимости.
- •Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
- •1. Отношение делимости и его свойства
- •2. Признаки делимости
- •3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •4. Простые числа
- •5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •Практическая работа. Делимость натуральных чисел
- •Тема 17. О расширении множества натуральных чисел
- •1. Понятие дроби
- •2. Положительные рациональные числа
- •3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •4. Действительные числа
- •Практическая работа. Действия над положительными действительными числами
- •Вопросы к коллоквиуму
- •Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»
- •Теоретико-множественный смысл суммы.
- •Теоретико-множественный смысл разности.
- •Признаки делимости.
- •Тема 18. Натуральное число как мера величины. Измерение величин
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины
- •3. Смысл суммы и разности
- •Практическая работа. Понятие положительной скалярной величины
- •Практическая работа. Обоснование выбора действий при решении текстовых задач в начальной школе
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Определения, теоремы, выводы
- •Тема 19. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства
- •1. Понятие геометрической фигуры
- •2. Углы
- •3. Параллельные и перпендикулярные прямые
- •4. Треугольники
- •5. Четырехугольники
- •Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
- •1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- •2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы раны.
- •6. Многоугольники
- •7. Окружность и круг
- •8. Построение геометрических фигур на плоскости.
- •1. Построить на данной прямой отрезок со, равный данному отрезку ав.
- •2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
- •3. Найти середину отрезка.
- •4. Построить биссектрису данного угла.
- •5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
- •9. Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования
- •1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия).
- •2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия).
- •3. Гомотетия.
- •10. Движения и равенство фигур
- •Практическая работа. Решение геометрических задач
- •Практическая работа. Основные задачи на построение на плоскости
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 20. Изображения пространственных фигур
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Практическая работа. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 21. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •2. Величина угла и ее измерение
- •3. Понятие площади фигуры и ее измерение
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Практическая работа. Геометрические величины
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Правила, замечания
- •Практическая часть
- •Список литературы
- •Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений специальности: «начальное обучение»
- •Глузман Неля Анатольевна Кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой методик начального и дошкольного образования рвуз «Крымский гуманитарный университет» (г. Ялта)
Теоретическая часть Вопросы к изучению
Понятие умозаключения
Дедуктивные умозаключения
Индуктивные умозаключения. Полная индукция
Неполная индукция
Математическая индукция
Аналогия
Умозаключения «от противного»
Некоторые виды неправильных умозаключений
Основные понятия темы
умозаключение,
посылка и заключение,
дедуктивные (правильные) умозаключения,
неполная индукция,
аналогия,
прямое доказательство,
косвенное доказательство,
полная индукция.
Неполная индукция и аналогия тесно связаны с дедукцией: выводы, полученные с помощью неполной индукции и аналогии, надо либо доказывать, либо опровергать. С другой стороны, дедукция не возникает на пустом месте, а является результатом предварительного индуктивного изучения материала.
Дедуктивные умозаключения позволяют из уже имеющегося знания получать новые истины, и притом с помощью рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т.д.
Математическое доказательство - это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по определенным правилам.
Практическая часть
Выскажите предположение, рассмотрев несколько частных случаев:
а) К однозначному числу приписали такую же цифру. Во сколько раз увеличилось число?
б) Имеются два числа, ни одно из них не делится на 3. Может ли (и при каком условии), сумма этих чисел разделится на 3?
в) Верно ли, что квадрат четного числа есть число, кратное 4?
Даны верные равенства: 74 – 47 = 27; 52 – 25 = 27; 63 – 36 = 27. Верно ли, что разность любого двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 27?
Выяснив, что (12 + 4) : 2 = 12 : 2 + 4 : 2, ученик решил аналогично действовать при нахождении значения выражения (12 4) : 2, и записал: (12 4) : 2 = (12 : 2) (12 : 4). Прав ли он?
Даны два утверждения: А (х) – «число х четное» и В (х) – «запись числа х оканчивается цифрой 4». Находятся ли они в отношении следования?
Почему следующее обобщение приводит к неправильному выводу: рассмотрим квадрат со стороной 1 см и измерим его углы. Все они равны 90. Возьмем квадрат со стороной 2 см и тоже измерим все его углы. Они также получились равными 90.Сделаем это 35 раз, предложив ученику проверить это самостоятельно. Вывод: все четырехугольники с равными сторонами имеют все углы по 90?
Что играет роль отдельных подмножеств, на основании знаний о которых мы узнаем обо всем множестве в следующем умозаключении:
1 + 2 = 2 + 1; 1 + 3 = 3 + 1; 1 + 4 = 4 + 1; 1 + 5 = 5 + 1; 2 + 3 = 3 + 2;
2 + 4 = 4 + 2; 2 + 5 = 5 + 2; 3 + 4 = 4 + 3; 3 + 5 = 5 + 3; 4 + 5 = 5 + 4
Вывод. Сложение на множестве чисел 1, 2, 3, 4, 5 коммутативно.
Докажите, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.
Разность двух углов равна 10°. Докажите, что эти углы не могут быть вертикальными.
Докажите, что если х2 + 3х + 1 < 0, то х < 0.
Как изменится сумма двух чисел, если каждое слагаемое увеличить в три раза?
Каким числом может быть сумма двух нечетных чисел? Рассмотрите несколько частных случаев и выскажите предположение. Каким образом можно доказать его истинность?
Разделите каждое из чисел 32, 52 и 72 на 4. Чему в каждом из этих случаев равен остаток? Какое предположение можно высказать на основе полученных результатов? Сколько нечетных чисел нужно возвести в квадрат и разделить на 4, чтобы гарантировать истинность высказанного предположения?
Даны четыре последовательных нечетных числа. Верно ли, что произведение крайних чисел меньше произведения средних на 8?
Верно ли, что:
а) разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8;
б) произведение двух последовательных четных чисел кратно 8;
в) разность между квадратом натурального числа, не делящегося на 3, и единицей делится на 3?
Покажите, что обосновывая решение следующих задач, младшие школьники могут использовать полную индукцию:
а) Дан ряд чисел: 3545, 3550, 3555, 3560, 3565. Можно ли утверждать, что каждое число этого ряда делится на 5?
б) Можно ли утверждать, что значения всех нижеприведенных выражений одинаковы: 326326:326; 236236:236; 626626:626.
в) Можно ли утверждать, что значения выражений в столбике одинаковы: 56:5; 78:(32:4); (65-9): (24:3)?
Закончите умозаключение так, чтобы оно было дедуктивным:
а) Если четырехугольник–прямоугольник, то в нем диагонали равны. Четырехугольник АВСD …
б) Равные треугольники имеют равные площади. Треугольники АВС и КLМ…
в) Для того чтобы ромб был квадратом, достаточно, чтобы в нем был прямой угол. Ромб АВСD…
Восстановите общую посылку в умозаключении:
а) Число 12 – натуральное, следовательно, оно положительное.
б) Число 15 – нечетное, следовательно, оно не делится на 2.
Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что 1) 130 делится на 10; 2) 137 не делится на 10; 3) Четырехугольник АВСD не является прямоугольником.
Докажите «от противного»:
1) что если в 10 коробках 21 елочная игрушка, то хотя бы в одной коробке лежит не менее трех елочных игрушек;
2) что множество А / (А В) не пересекается с множеством В\ (А В);
3) что, если а+310, то а 7;
4) что, если х2 – четное число, то х – четно;
5) что, если отрезок, проведенный через середину одной стороны треугольника до пересечения с другой стороной, равен половине длины третьей стороны, то этот отрезок есть средняя линия треугольника.
Докажите, что значение выражения (х–4)(2х+1) будет целое число, если х принимает значения –1, 0, 1, 4.
Доказать, что каждое составное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.
Докажите, что для простого р выражение р2+2 принимает только один раз значение простого числа.
Докажите методом математической индукции, что
а) 1+3+5+…+(2п–1)=п2; б) 1+3+6+…+;
в)12+22+32+…+п2 = ; г) 13+23+33 +…+п3 = .