- •Министерство образования и науки украины
- •Содержание
- •Пояснительная записка
- •Структура курса
- •Модуль 1. Множества
- •Тема 1. Множества и операции над ними
- •Введение
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2.Способы задания множества
- •3. Отношения между множествами. Подмножество
- •Примеры
- •4. Круги Эйлера-Венна
- •Практическая работа. Понятие множества
- •Тема 2. Операции над множествами
- •1. Пересечение множеств
- •2. Объединение множеств
- •3. Законы пересечения и объединения множеств
- •Определение. Для любых множеств а, в и с выполняются равенства:
- •4. Вычитание множеств. Дополнение подмножества
- •Практическая работа. Операции над множествами
- •Вопросы к изучению
- •Основные понятия
- •Обозначения
- •Практическая часть
- •Тема 2.1. Понятие разбиения множества на классы
- •1. Понятие разбиения множества на классы
- •Практическая работа. Разбиение множества на классы
- •Вопросы к изучению
- •Обозначения
- •Правила
- •Тема 2.2. Декартово произведение множеств
- •1. Декартово произведение множеств
- •2. Свойства операции нахождения декартова произведения
- •3. Кортеж. Длина кортежа
- •Практическая работа. Декартово произведение
- •Вопросы к изучению
- •Обозначения
- •Правила
- •Тема 3. Понятие соответствия Содержание
- •1. Понятие соответствия между множествами
- •Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
- •2. Способы задания соответствий
- •3. Соответствие обратное данному
- •4. Взаимно однозначные соответствия
- •5. Равномощные множества
- •Практическая работа. Соответствия между двумя множествами
- •Тема 4. Числовые функции
- •1. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. Прямая и обратная пропорциональности
- •Основные понятия темы
- •Основные выводы, замечания
- •Тема 5. Отношения на множестве
- •1. Понятие отношения между элементами одного множества
- •2. Способы задания отношений
- •3. Свойства бинарных отношений
- •Практическая работа. Отношения на множестве
- •Тема 6. Выражение. Уравнение. Неравенство
- •Выражения и их тождественные преобразования.
- •1. Выражения и их тождественные преобразования
- •3. Уравнения с одной переменной
- •4. Неравенства с одной переменной
- •Практическая работа. Выражения и их преобразования. Числовые равенства и неравенства с одной переменной.
- •Практическая работа. Уравнения и неравенства с одной переменной.
- •Контрольная (зачетная) работа
- •Модуль 2. Математические утверждения и их структура
- •Тема 7. Математические понятия Содержание
- •1. Математические понятия. Объем и содержание понятия
- •Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно а и в.
- •2. Отношение рода и вида между понятиями
- •4. Требования к определению понятий
- •5. Неявные определения
- •Практическая работа. Математические понятия
- •Вопросы к изучению
- •Представления о математических понятиях -
- •Обозначения
- •Тема 8. Высказывания и высказывательные формы
- •2. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний
- •3. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм
- •Практическая работа. Высказывания и высказывательные формы
- •Тема 8.1. Высказывания с квантором. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •1. Высказывания с кванторами
- •2. Истинность высказываний с кванторами
- •3. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •Практическая работа. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •Тема 8.2. Отношения следования и равносильности между предложениями
- •1. Отношения следования между предложениями
- •2. Отношения равносильности между предложениями
- •Практическая работа. Отношения следования и равносильности между предложениями
- •Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Обозначения
- •Тема 8.3. Структура теоремы. Виды теорем
- •1. Структура теоремы
- •2. Отличие теоремы от правила
- •3. Виды теорем
- •Практическая работа. Структура теоремы. Виды теорем
- •Тема 9. Математическое доказательство
- •1. Понятие умозаключения.
- •2. Дедуктивные умозаключения Умозаключения, построенные по схеме
- •3. Индуктивные умозаключения. Полная индукция
- •Все s1, s2,..., Sп исчерпывают весь класс s (4) Все s есть р
- •4. Неполная индукция
- •5. Математическая индукция
- •6. Аналогия
- •7. Умозаключения «от противного»
- •8. Некоторые виды неправильных умозаключений
- •9. Логическая структура математической задачи
- •10. Закон достаточного основания и аксиоматический метод в математике
- •Практическая работа. Математическое доказательство
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 10. Текстовая задача и процесс ее решения
- •1. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач
- •2. Структура процесса решения текстовой задачи
- •2. Методы и способы решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •1. Анализ задачи
- •4. Поиск и составление плана решения задачи
- •5. Осуществление плана решения задачи
- •6. Проверка решения задачи
- •7. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Практическая работа. Текстовая задача и процесс ее решения
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 11. Комбинаторные задачи и их решение
- •1. Комбинаторика
- •2. Правила суммы и произведения
- •3. Размещения и сочетания
- •Практическая работа. Комбинаторные задачи и их решение
- •Вопросы для коллоквиума
- •Модуль 3. Целые неотрицательные числа
- •Тема 12. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •1. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •2. Об аксиоматическом способе построения теории
- •3. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •4. Количественные натуральные числа. Счет
- •Семинарское занятие. История возникновения понятия натурального числа Вопросы к изучению
- •Вопросы для самоконтроля
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 13. Теоретико-множественный подход к построению натурального ряда чисел. Теоретико-множественный смысл арифметических действий.
- •1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •2. Теоретико-множественный смысл суммы
- •3. Теоретико-множественный смысл разности
- •4. Теоретико-множественный смысл произведения
- •5. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Практическая работа. Теоретико–множественный смысл суммы, разности, произведения, частного и отношения «меньше»
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Тема 14. Позиционные и непозиционные системы исчисления
- •1. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •2. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Практическая работа. Запись целых неотрицательных чисел
- •Теоретическая часть
- •Основные понятия темы
- •Тема 15. Алгоритмы действий над целыми неотрицательными числами
- •1. Алгоритм сложения
- •2. Алгоритм вычитания
- •3. Алгоритм умножения
- •4. Алгоритм деления
- •Практическая работа. Алгоритмы арифметических действий
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Тема 16. Отношение делимости и его свойства Содержание
- •Признаки делимости.
- •Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
- •1. Отношение делимости и его свойства
- •2. Признаки делимости
- •3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •4. Простые числа
- •5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •Практическая работа. Делимость натуральных чисел
- •Тема 17. О расширении множества натуральных чисел
- •1. Понятие дроби
- •2. Положительные рациональные числа
- •3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •4. Действительные числа
- •Практическая работа. Действия над положительными действительными числами
- •Вопросы к коллоквиуму
- •Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»
- •Теоретико-множественный смысл суммы.
- •Теоретико-множественный смысл разности.
- •Признаки делимости.
- •Тема 18. Натуральное число как мера величины. Измерение величин
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины
- •3. Смысл суммы и разности
- •Практическая работа. Понятие положительной скалярной величины
- •Практическая работа. Обоснование выбора действий при решении текстовых задач в начальной школе
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Определения, теоремы, выводы
- •Тема 19. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства
- •1. Понятие геометрической фигуры
- •2. Углы
- •3. Параллельные и перпендикулярные прямые
- •4. Треугольники
- •5. Четырехугольники
- •Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
- •1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- •2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы раны.
- •6. Многоугольники
- •7. Окружность и круг
- •8. Построение геометрических фигур на плоскости.
- •1. Построить на данной прямой отрезок со, равный данному отрезку ав.
- •2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
- •3. Найти середину отрезка.
- •4. Построить биссектрису данного угла.
- •5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
- •9. Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования
- •1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия).
- •2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия).
- •3. Гомотетия.
- •10. Движения и равенство фигур
- •Практическая работа. Решение геометрических задач
- •Практическая работа. Основные задачи на построение на плоскости
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 20. Изображения пространственных фигур
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Практическая работа. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 21. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •2. Величина угла и ее измерение
- •3. Понятие площади фигуры и ее измерение
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Практическая работа. Геометрические величины
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Правила, замечания
- •Практическая часть
- •Список литературы
- •Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений специальности: «начальное обучение»
- •Глузман Неля Анатольевна Кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой методик начального и дошкольного образования рвуз «Крымский гуманитарный университет» (г. Ялта)
7. Умозаключения «от противного»
Схема умозаключения «от противного» такова: «Если из А следует В, то из не В следует не А». Другими словами, если верно АВ, то верно , и наоборот. Такое умозаключение лежит в основе рассуждения от противного и в математике. Если АВ назвать прямой теоремой, то ВА называется обратной теоремой, а называетсяпротивоположной к обратной теореме.
Покажем справедливость , при условии справедливости АВ. Нам нужно доказать, что если истинно, тоистинно. Другими словами, если В ложно, то А ложно. Но это очевидно, так как истинность А влечет за собой истинность В.
Приведем пример этого рассуждения из обыденной жизни. Допустим, что мы знаем, если дедушки нет дома, то засов на сарае стоит (А В). Мы пришли и обнаружили, что засов на сарае не стоит (). Значит, дедушка дома, т.е.. Существует удобная иллюстрация приведенного умозаключения на диаграмме Эйлера-Венна. Если А В, то . На диаграмме это свойство хорошо видно:
Кроме рассмотренных видов умозаключений, в логике изучают, много других видов умозаключений.
8. Некоторые виды неправильных умозаключений
В этом пункте мы приведем примеры неправильных умозаключений и покажем, как можно на кругах Эйлера отличить правильные умозаключения от неправильных.
Рассмотрим такое рассуждение. «В хоккей играют настоящие мужчины. Ильин не играет в хоккей. Следовательно, Ильин - не настоящий мужчина».
Смысл первой исходной посылки состоит в том, что те люди, которые играют в хоккей, - настоящие мужчины. Это суждение типа «всеS есть Р», т.е. все играющие в хоккей (S) - настоящие мужчины (Р). На кругах Эйлера это изображается, как на рисунке.
Суждение «Ильин не играет в хоккей» изображается на диаграмме точкой С, не попадающей в круг S. Может случиться так, что С не находится в Р, .т.е. «С не является настоящим мужчиной». Однако С может и находиться в круге Р. В этом случае вывод неверен. Итак, схема
Все S есть Р: С не есть S
С не есть Р - не является правильной. Рассуждение, проводимое по этой схеме, может из правильных посылок привести к неправильному выводу. (Иногда этот вывод может быть случайно правильным, но рассуждение по неправильной схеме все равно считается логически неверным.)
9. Логическая структура математической задачи
Любая математическая задача имеет следующую логическую структуру. Есть условие задачи - набор суждений, которые называются данными задачи. Обозначим их А1 А2, ..., Ап. Из этих данных необходимо вывести некоторые другие суждения (одно или несколько). В постановке задачи обычно указывается, какого типа суждения необходимо получить, исходя из данных задачи. Если это «задача на доказательство», то такое суждение прямо формулируется.
Например, «доказать, что если 10 предметов лежат в 9 коробках, то найдется хотя бы одна коробка, в которой лежат по крайней мере два предмета». Здесь исходное суждение - условие задачи - заключается в суждении: «В 9 коробках лежат 10 предметов». Из этого суждения по правилам логики и математики необходимо получить суждение: «Найдется коробка, в которой лежит по крайней мере 2 предмета».
Иногда суждение, которое необходимо получить, формулируется не явно, а дается в виде вопроса типа: «Сколько», «Чему равно?». Эти вопросы требуют найти какие-то свойства тех объектов, которые описываются в условии задачи. Как правило, в математической задаче эти свойства носят характер количественных соотношений, геометрических и т.п.
Рассмотрим, например, задачу начальной школы. У одного мальчика 3 марки, у другого на 2 марки больше. Сколько марок у двух мальчиков? Здесь условие задачи - это суждение А1: «У одного мальчика 4 марки» и суждение А2: «У другого мальчика на 2 марки больше». Суждение В, которое нужно получить, выглядит так: «У двух мальчиков вместе такое-то количество марок». Итак, из условий А1 и А2 нужно получить суждение В определенного вида. Вообще говоря, из данных А1 и А2 можно получать логически и математически разные суждения.
Например, в данной задаче можно получить вывод о том, что у первого мальчика на 3 марки меньше, у второго мальчика на 67 % марок больше, что вместе у них марок больше, чем у каждого в отдельности, и т.п. Все это задачей не требуется, а требуется суждение вполне определенного вида. В этом, может быть, и состоит трудность решения любой математической задачи. Из большого количества различных выводов необходимо выбрать несколько нужных для получения дальнейших выводов, которые затем приводят к ответу на вопрос.
Отметим, что возможность делать различные выводы из данных задачи является источником разнообразных задач типа: «Что можно узнать, если известно нечто». Например: «из двух пунктов, расстояние между которыми 360 км, вышли навстречу друг другу одновременно два автомобиля со скоростью 60 км/ч. Что можно узнать по этим данным?»
Логическая схема решения математической задачи такова:
(А1, А2, ..., Ап) (В1, В2, ..., Вк,) (С1, С2, ..., Ст),
где знак указывает на следование, получаемое по правилам логики и математики. В нашей конкретной задаче из суждений А1, А2 следует суждение А3; «У второго мальчика 5 марок», а затем из суждений А1, А3 следует суждение В:«У двух мальчиков вместе 8 марок». Эти два логических перехода обозначим с помощью знака следования 1) (А1 и А2) А3, 2) (А3 и А1 В. Окончательно можно сделать такой логический вывод: (А1 и А2) В. Задача решена.
Первые два шага соответствуют действиям, которые выполняют ученики: 1) 3+2 = 5; 2) 5+3 = 8. Третий, заключительный, вывод есть итог, он соответствует действию написания ответа учеником.
Схему умозаключения, которая здесь используется, можно записать в виде
(А1 и А2) А3, 2) (А3 и А1) В.
(А1 и А2) В
Правильность этой логической схемы проверяется простым рассуждением. Допустим, что А1 и А2 - истинные суждения. Тогда, в силу (А1 и А2) А3, А3 - истинное суждение. Поскольку А1 - истинное суждение и А3 - истинное суждение, то В - истинное суждение в силу второго логического следования. Это и требовалось доказать.
Вопрос о справедливости следования (А1 и А2) А3 уже является сугубо математическим вопросом, связанным с математическим значением терминов «больше на».
Если не все данные используются для получения решения задачи, то чаше всего это означает, что школьник неправильно решает задачу, поскольку во всех школьных учебниках все данные в условии задачи должны использоваться. В практической деятельности и в науках, где используется математика, постановка задач может содержать избыточные данные, и тогда задачей исследователя является выделение тех данных, которые использовались при решении задачи.
Отметим, что такого рода упражнения вполне можно использовать и в начальной школе с целью развития логического мышления учащихся. Например, можно поставить перед учениками проблему нахождения лишних данных в следующей задаче. Сторона участка равна 32 м, другая составляет 3/4 этой длины. Площадь участка равна 878 м2. Найти вторую сторону.