4. Неполная индукция

Кроме полной индукции, в математике и в методике ее преподавания встречаются рассуждения по неполной индукции.

Иногда математические задачи сформулированы в таком виде, что прежде чем их решать, нужно сначала выделить условие «что дано» и заключение «что требуется установить». К таким задачам относятся суждения вида «все S есть Р». Если требуется установить истинность такого рода суждения, то для этого необходимо проверить, что любой объект вида S является объектом вида Р. Для этого достаточно взять произвольный объект вида S и убедиться в том, что он является объектом вида Р.

Например. Предположим, что вы даете ученику коробку со 100 красными палочками и просите ученика, не глядя в эту коробку, достать, допустим, 10 палочек. Все 10 палочек, естественно, оказались красного цвета. Вы спрашиваете, можно ли утверждать, что все палочки в коробке красного цвета? Правильный ответ на этот вопрос - нет, нельзя. Действительно, пока не проверены все палочки, утверждать о принадлежности их к типу Р (Р - предметы красного цвета) нельзя.

Не всегда, однако, для того чтобы убедиться в справедливости суждения «все S есть Р», нужно перебирать все объекты типа S. Иногда бывает так, что можно воспользоваться лишь его принадлежностью к объектам вида S, и из этого уже будет следовать принадлежность его к типу Р.

Например. Доказать, что любое число, делящееся на 3, имеет в десятичной записи цифры, сумма которых делится на 3. Нужно ли (да и возможно ли) проверять все числа, делящиеся на 3? Разумеется, нет.

Можно взять произвольное число, делящееся на 3 (объект S), и, не опираясь на конкретный вид этого числа, а используя только его кратностью 3, доказать, что его сумма кратна 3 (является объектом типа Р).

Теперь предположим, что вы предложили рассмотреть ученикам несколько двузначных чисел, делящихся на 3, и подметить какую-нибудь общую особенность у этих чисел. Кто-то допустим, написал 5 таких чисел и заметил, что сумма цифр у каждого из этих чисел делится на 3. После этого естественно выдвинуть общую гипотезу: если число делится на 3, то сумма его цифр тоже делится на 3. Какого рода умозаключение здесь использовалось? Вот его схема.

Некоторые S есть Р

Все S есть Р (5)

Является ли это умозаключение логически строгим? Конечно, нет. Верно ли, что такого типа умозаключениями где нельзя пользоваться? Нет, так как такого типа исключения часто являются источником правильных гипотез, укрепляют веру в истинность утверждений, которые на определенном этапе обучения нельзя обосновать строго.

Умозаключения вида (5) называются рассуждениями по неполной индукции.

Определение. Неполная индукция – рассуждение от отдельного к общему, то есть вывод, который делается на основе изучения свойств отдельных объектов определенной совокупности и распространяется на все ее объекты.

Например, построив по точкам графики нескольких линейных функций, учащиеся убеждаются, что графиком их есть прямая линия. После этого по индукции делается вывод, что графиком какой–либо функции есть прямая линия. Этот вывод правильный, хоть и имеет характер гипотезы, пока в аналитической геометрии не будет доказанный.

Рассуждения по неполной индукции часто встречаются в начальном курсе обучения математике. Они являются как бы источником веры в правильность действий учителя и ученика.

Например. Как ученик второго класса убеждается в справедливости переместительного закона умножения? Сначала ему демонстрируют несколько примеров типа 32=3+3=6, 23=2+2+2=6. Затем показывают конструкцию более общего характера, основанную на нахождении площади одного и того же прямоугольника двумя способами. После этого ему предлагают «поверить» в коммутативность и запомнить математическое утверждение о справедливости переместительного закона умножения ав = ва.

Очевидно, что ни один из приведенных аргументов не является логически достаточным для того, чтобы сделать вывод о справедливости переместительного закона умножения. Демонстрация конечного (и даже большого) количества числовых примеров не является достаточным аргументом для того, чтобы утверждать, что свойство справедливо для всех пар чисел. Схема умозаключения, которое здесь используется, есть схема типа (5), где S - пары натуральных чисел; Р - пары натуральных чисел, обладающих свойством коммутативности умножения. Умозаключение, которое используется в начальной школе, записывается так: «для некоторых пар натуральных чисел справедливо свойство переместительности умножения. Следовательно, для всех пар натуральных чисел справедливо свойство переместительности умножения».

Это также пример неполной индукции. Часто рассуждения по неполной индукции приводят к неправильным выводам. Однако в методике преподавания начального курса математики они с необходимостью используются в тех случаях, когда вывод не вызывает сомнений и когда нет возможности обосновать правило или закон в полной мере. Таких случаев довольно много.

Есть гипотезы в математике, которые, естественно, возникают как обобщения конкретных наблюдений, но истинность которых до сих пор не подтверждена доказательством (но и не опровергнута). Один из примеров - это классическая проблема Гольдбаха в теории чисел. Рассмотрим четные числа, начиная с 4, и их разложения в суммы простых (простое число - это натуральное число, не имеющее делителей, кроме 1 и самого себя).

4=2+2 10=5+5

6=3+3 12=7+5

8=5+3 14=11+3

Мы видим, что все эти числа можно представить в виде суммы двух простых. Оказывается, что это утверждение верно для многих других четных чисел. Однако неизвестно, верно ли оно для всех четных чисел.