- •Министерство образования и науки украины
- •Содержание
- •Пояснительная записка
- •Структура курса
- •Модуль 1. Множества
- •Тема 1. Множества и операции над ними
- •Введение
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2.Способы задания множества
- •3. Отношения между множествами. Подмножество
- •Примеры
- •4. Круги Эйлера-Венна
- •Практическая работа. Понятие множества
- •Тема 2. Операции над множествами
- •1. Пересечение множеств
- •2. Объединение множеств
- •3. Законы пересечения и объединения множеств
- •Определение. Для любых множеств а, в и с выполняются равенства:
- •4. Вычитание множеств. Дополнение подмножества
- •Практическая работа. Операции над множествами
- •Вопросы к изучению
- •Основные понятия
- •Обозначения
- •Практическая часть
- •Тема 2.1. Понятие разбиения множества на классы
- •1. Понятие разбиения множества на классы
- •Практическая работа. Разбиение множества на классы
- •Вопросы к изучению
- •Обозначения
- •Правила
- •Тема 2.2. Декартово произведение множеств
- •1. Декартово произведение множеств
- •2. Свойства операции нахождения декартова произведения
- •3. Кортеж. Длина кортежа
- •Практическая работа. Декартово произведение
- •Вопросы к изучению
- •Обозначения
- •Правила
- •Тема 3. Понятие соответствия Содержание
- •1. Понятие соответствия между множествами
- •Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
- •2. Способы задания соответствий
- •3. Соответствие обратное данному
- •4. Взаимно однозначные соответствия
- •5. Равномощные множества
- •Практическая работа. Соответствия между двумя множествами
- •Тема 4. Числовые функции
- •1. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. Прямая и обратная пропорциональности
- •Основные понятия темы
- •Основные выводы, замечания
- •Тема 5. Отношения на множестве
- •1. Понятие отношения между элементами одного множества
- •2. Способы задания отношений
- •3. Свойства бинарных отношений
- •Практическая работа. Отношения на множестве
- •Тема 6. Выражение. Уравнение. Неравенство
- •Выражения и их тождественные преобразования.
- •1. Выражения и их тождественные преобразования
- •3. Уравнения с одной переменной
- •4. Неравенства с одной переменной
- •Практическая работа. Выражения и их преобразования. Числовые равенства и неравенства с одной переменной.
- •Практическая работа. Уравнения и неравенства с одной переменной.
- •Контрольная (зачетная) работа
- •Модуль 2. Математические утверждения и их структура
- •Тема 7. Математические понятия Содержание
- •1. Математические понятия. Объем и содержание понятия
- •Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно а и в.
- •2. Отношение рода и вида между понятиями
- •4. Требования к определению понятий
- •5. Неявные определения
- •Практическая работа. Математические понятия
- •Вопросы к изучению
- •Представления о математических понятиях -
- •Обозначения
- •Тема 8. Высказывания и высказывательные формы
- •2. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний
- •3. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм
- •Практическая работа. Высказывания и высказывательные формы
- •Тема 8.1. Высказывания с квантором. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •1. Высказывания с кванторами
- •2. Истинность высказываний с кванторами
- •3. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •Практическая работа. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •Тема 8.2. Отношения следования и равносильности между предложениями
- •1. Отношения следования между предложениями
- •2. Отношения равносильности между предложениями
- •Практическая работа. Отношения следования и равносильности между предложениями
- •Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Обозначения
- •Тема 8.3. Структура теоремы. Виды теорем
- •1. Структура теоремы
- •2. Отличие теоремы от правила
- •3. Виды теорем
- •Практическая работа. Структура теоремы. Виды теорем
- •Тема 9. Математическое доказательство
- •1. Понятие умозаключения.
- •2. Дедуктивные умозаключения Умозаключения, построенные по схеме
- •3. Индуктивные умозаключения. Полная индукция
- •Все s1, s2,..., Sп исчерпывают весь класс s (4) Все s есть р
- •4. Неполная индукция
- •5. Математическая индукция
- •6. Аналогия
- •7. Умозаключения «от противного»
- •8. Некоторые виды неправильных умозаключений
- •9. Логическая структура математической задачи
- •10. Закон достаточного основания и аксиоматический метод в математике
- •Практическая работа. Математическое доказательство
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 10. Текстовая задача и процесс ее решения
- •1. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач
- •2. Структура процесса решения текстовой задачи
- •2. Методы и способы решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •1. Анализ задачи
- •4. Поиск и составление плана решения задачи
- •5. Осуществление плана решения задачи
- •6. Проверка решения задачи
- •7. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Практическая работа. Текстовая задача и процесс ее решения
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 11. Комбинаторные задачи и их решение
- •1. Комбинаторика
- •2. Правила суммы и произведения
- •3. Размещения и сочетания
- •Практическая работа. Комбинаторные задачи и их решение
- •Вопросы для коллоквиума
- •Модуль 3. Целые неотрицательные числа
- •Тема 12. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •1. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •2. Об аксиоматическом способе построения теории
- •3. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •4. Количественные натуральные числа. Счет
- •Семинарское занятие. История возникновения понятия натурального числа Вопросы к изучению
- •Вопросы для самоконтроля
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 13. Теоретико-множественный подход к построению натурального ряда чисел. Теоретико-множественный смысл арифметических действий.
- •1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •2. Теоретико-множественный смысл суммы
- •3. Теоретико-множественный смысл разности
- •4. Теоретико-множественный смысл произведения
- •5. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Практическая работа. Теоретико–множественный смысл суммы, разности, произведения, частного и отношения «меньше»
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Тема 14. Позиционные и непозиционные системы исчисления
- •1. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •2. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Практическая работа. Запись целых неотрицательных чисел
- •Теоретическая часть
- •Основные понятия темы
- •Тема 15. Алгоритмы действий над целыми неотрицательными числами
- •1. Алгоритм сложения
- •2. Алгоритм вычитания
- •3. Алгоритм умножения
- •4. Алгоритм деления
- •Практическая работа. Алгоритмы арифметических действий
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Тема 16. Отношение делимости и его свойства Содержание
- •Признаки делимости.
- •Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
- •1. Отношение делимости и его свойства
- •2. Признаки делимости
- •3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •4. Простые числа
- •5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •Практическая работа. Делимость натуральных чисел
- •Тема 17. О расширении множества натуральных чисел
- •1. Понятие дроби
- •2. Положительные рациональные числа
- •3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •4. Действительные числа
- •Практическая работа. Действия над положительными действительными числами
- •Вопросы к коллоквиуму
- •Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»
- •Теоретико-множественный смысл суммы.
- •Теоретико-множественный смысл разности.
- •Признаки делимости.
- •Тема 18. Натуральное число как мера величины. Измерение величин
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины
- •3. Смысл суммы и разности
- •Практическая работа. Понятие положительной скалярной величины
- •Практическая работа. Обоснование выбора действий при решении текстовых задач в начальной школе
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Определения, теоремы, выводы
- •Тема 19. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства
- •1. Понятие геометрической фигуры
- •2. Углы
- •3. Параллельные и перпендикулярные прямые
- •4. Треугольники
- •5. Четырехугольники
- •Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
- •1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- •2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы раны.
- •6. Многоугольники
- •7. Окружность и круг
- •8. Построение геометрических фигур на плоскости.
- •1. Построить на данной прямой отрезок со, равный данному отрезку ав.
- •2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
- •3. Найти середину отрезка.
- •4. Построить биссектрису данного угла.
- •5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
- •9. Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования
- •1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия).
- •2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия).
- •3. Гомотетия.
- •10. Движения и равенство фигур
- •Практическая работа. Решение геометрических задач
- •Практическая работа. Основные задачи на построение на плоскости
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 20. Изображения пространственных фигур
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Практическая работа. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 21. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •2. Величина угла и ее измерение
- •3. Понятие площади фигуры и ее измерение
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Практическая работа. Геометрические величины
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Правила, замечания
- •Практическая часть
- •Список литературы
- •Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений специальности: «начальное обучение»
- •Глузман Неля Анатольевна Кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой методик начального и дошкольного образования рвуз «Крымский гуманитарный университет» (г. Ялта)
Практическая работа. Выражения и их преобразования. Числовые равенства и неравенства с одной переменной.
Цель. Уточнить и углубить знания о выражениях (числовых и с переменными), о числовых неравенствах и равенствах.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Алфавит математического языка.
Выражения (числовые и с переменными), их тождественные преобразования.
Числовые равенства и неравенства, их свойства.
Основные понятия темы
числовое выражение;
значение числового выражения;
выражение, не имеющее смысла;
выражение с переменной (переменными);
область определения выражения;
тождественно равные выражения;
тождество;
тождественное преобразование выражения.
числовое равенство;
числовое неравенство.
Практическая часть
Обязательные задания
Среди следующих записей укажите числовые выражения: а) 42: 5; б) 27; в) 32 + - ) : 14; г) 2 7 = 7 2; д) (17 + 130 : 10 – 15; е) 142 71 2.
Какие из следующих выражений имеют смысл, если рассматривать их на множестве натуральных чисел: а) (135+67) 12; б) (135 - 217):2; в) 362 : 4?
Какие из нижеприведенных записей являются выражениями с переменными: а) 8 + 0,3b; б) 21 – (4 + у); в) х + 2у 7; г) 32 : у + 3 = 5у?
Установите, какая область определения выражений, если рассматривать их на множестве действительных чисел: а) (3 – у) : 64; б) 64 : (3 – у); в) (5 + х) : ( х – 12).
Известно, что выражение называется по своему последнему действию. Укажите порядок действий и дайте название каждому выражению:
Выражение
Название выражения
(12 5 + 3 : (2 + 7 ) ) 18
(23 – 7 6 – 4 + 15) : (17 – 6)
21 + (35 3 : 8- 14 :5)
19 – 8 : 4 +5
Вычислите значение выражения: а) ((36 : 2 – 14) (42 2 – 14) + 20) : 2; б) (72 : 12 – (18 – 15)) : (24 : 3 – 2 4); в) (16,583 : 7,21 + 54,68 853,2 + 28,82 0,1) : 1, 6 – 1,02.
Выясните, являются ли выражения 3 (4 - х) и 12 – 3х тождественно равными на множестве: а) {1, 2, 3, 4}; б) действительных чисел.
Какие из следующих равенств являются тождествами на множестве действительных чисел: а) 3р + 5а = 5а + 3р; в) 3р 5а = 5а 3р; б) 3р – 5а = 5 а -3р; г) 3р : 5а = 5а : 3р?
Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих выражений: а) 3245 =(300+20+4)5= 3005+205+45= 1500+100+20 = 1500+120 = 1620; б)9712 =(100 - 3) 12= 10012-312= 1200-36= 1100+(100-36)= 1164; в) 5 (1-2х)+ 10х = 5-10х+ 10х = 5.
Объясните, почему отношение «иметь одно и то же значение на множестве числовых выражений является отношением эквивалентности. Какие следствия из этого факта используются при выполнении тождественных преобразований числовых выражений?
Упростите выражение путем тождественных преобразований: а) 6 (2аb-3)+2а (6b-5); б) (12а-16b):4 - (10а-4b).
Сравните значения выражений, не выполняя действий: а) (30+56) 5 и 305+565; б) (19+4) 7 и 197+107; в) (14-7) 6 и 16 6 - 76; г) (18 - 9) 7 и 18 7 – 11 7.
Решите задачу; решение запишите в виде выражения:
а) На туристическую базу прибыли в один день 150 туристов, другой день 170. Чтобы пойти по маршрутам, 200 туристов разбились на группы, по 20 человек в каждой, а остальные по 15 человек в группе. Сколько получилось групп?
б) В мастерской за 5 дней сшили 2000 фартуков. Сколько фартуков сошьют за 8 дней, если будут шить в день на 50 фартуков больше?
в) Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 18 мин, а каждую следующую на 3 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?
Установите, какие из следующих числовых равенств и неравенств истинны:
а)
б)
в) 1, 0905 : 0,025 – 6,84 3,07 + 2,38 : 100 4, 8 : (0,04 0,006).
Проверьте, истинны ли числовые равенства: 1393 = 3139,1482 = = 4128, 2364 = 3246. Можно ли утверждать, что произведение любых двух натуральных чисел не изменится, если в каждом множителе переставить цифры?
Известно, что х > у - истинное неравенство. Будут ли истинными следующие неравенства:
а) 2х 2у; в) 2х – 7 2у – 7;
б) - ; г) – 2х – 7 - 2у – 7 ?
Известно, что а < b - истинное неравенство. Поставьте вместо * знак «>» или «<» так, чтобы получилось истинное неравенство:
а) – 3,7 а * - 3,7 b; г) _ * - ;
б) 0,12 а * 0,12 b; д)-2(а+5) * -2(b+5);
в) * ; е)(а-1) * (b-1)
Дано неравенство 5 > 3. Умножьте обе его части на 7; 0,1; 2,6;. Можно ли на основании полученных результатов утверждать, что для любого положительного числа а неравенство 5а > 3а истинно?
Выполните задания, которые предназначаются ученикам начальных классов, и сделайте вывод о том, как трактуются в начальном курсе математики понятия числового равенства и числового неравенства:
а) Запиши два верных равенства и два верных неравенства, используя выражения: 9 3, 30 - 6, 3 9, 30 - 3. б) Расставь скобки так, чтобы равенства были верными: 4 + 2 3 = 18; 31-10-3=24; 54-12+8=34. в) Поставь вместо * знаки действий так, чтобы получились верные равенства: 3*6*2=9; 9*3*6=18.
Творческие задания
Какие ответы учеников вы будете считать правильными при выполнении ими задания - сравнить выражения, не вычисляя их значения: а) 70 32+9 32...7930+792; б)7 4+3 4...(7+8) 4; в) 8500:1700 ...8500:100:17; г) 24 6080 ...(6000+80) 24?
Составьте текстовую задачу, решение которой можно оформить в виде числового выражения (12 + 9) 4. Сколькими арифметическими способами можно решить эту задачу? Какова теоретическая основа разных способов арифметического решения этой задачи?
Составьте текстовые задачи, математическая модель которых: а) 17 3; б) (5 + 7 ) 8; в) (25 + 43) 3.
Составьте текстовые задачи, математическая модель которых: а) 35 : 7; б) (21 + 18) : 3; в) (1 + 14) : 3.