- •Министерство образования и науки украины
- •Содержание
- •Пояснительная записка
- •Структура курса
- •Модуль 1. Множества
- •Тема 1. Множества и операции над ними
- •Введение
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2.Способы задания множества
- •3. Отношения между множествами. Подмножество
- •Примеры
- •4. Круги Эйлера-Венна
- •Практическая работа. Понятие множества
- •Тема 2. Операции над множествами
- •1. Пересечение множеств
- •2. Объединение множеств
- •3. Законы пересечения и объединения множеств
- •Определение. Для любых множеств а, в и с выполняются равенства:
- •4. Вычитание множеств. Дополнение подмножества
- •Практическая работа. Операции над множествами
- •Вопросы к изучению
- •Основные понятия
- •Обозначения
- •Практическая часть
- •Тема 2.1. Понятие разбиения множества на классы
- •1. Понятие разбиения множества на классы
- •Практическая работа. Разбиение множества на классы
- •Вопросы к изучению
- •Обозначения
- •Правила
- •Тема 2.2. Декартово произведение множеств
- •1. Декартово произведение множеств
- •2. Свойства операции нахождения декартова произведения
- •3. Кортеж. Длина кортежа
- •Практическая работа. Декартово произведение
- •Вопросы к изучению
- •Обозначения
- •Правила
- •Тема 3. Понятие соответствия Содержание
- •1. Понятие соответствия между множествами
- •Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
- •2. Способы задания соответствий
- •3. Соответствие обратное данному
- •4. Взаимно однозначные соответствия
- •5. Равномощные множества
- •Практическая работа. Соответствия между двумя множествами
- •Тема 4. Числовые функции
- •1. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. Прямая и обратная пропорциональности
- •Основные понятия темы
- •Основные выводы, замечания
- •Тема 5. Отношения на множестве
- •1. Понятие отношения между элементами одного множества
- •2. Способы задания отношений
- •3. Свойства бинарных отношений
- •Практическая работа. Отношения на множестве
- •Тема 6. Выражение. Уравнение. Неравенство
- •Выражения и их тождественные преобразования.
- •1. Выражения и их тождественные преобразования
- •3. Уравнения с одной переменной
- •4. Неравенства с одной переменной
- •Практическая работа. Выражения и их преобразования. Числовые равенства и неравенства с одной переменной.
- •Практическая работа. Уравнения и неравенства с одной переменной.
- •Контрольная (зачетная) работа
- •Модуль 2. Математические утверждения и их структура
- •Тема 7. Математические понятия Содержание
- •1. Математические понятия. Объем и содержание понятия
- •Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно а и в.
- •2. Отношение рода и вида между понятиями
- •4. Требования к определению понятий
- •5. Неявные определения
- •Практическая работа. Математические понятия
- •Вопросы к изучению
- •Представления о математических понятиях -
- •Обозначения
- •Тема 8. Высказывания и высказывательные формы
- •2. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний
- •3. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм
- •Практическая работа. Высказывания и высказывательные формы
- •Тема 8.1. Высказывания с квантором. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •1. Высказывания с кванторами
- •2. Истинность высказываний с кванторами
- •3. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •Практическая работа. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •Тема 8.2. Отношения следования и равносильности между предложениями
- •1. Отношения следования между предложениями
- •2. Отношения равносильности между предложениями
- •Практическая работа. Отношения следования и равносильности между предложениями
- •Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Обозначения
- •Тема 8.3. Структура теоремы. Виды теорем
- •1. Структура теоремы
- •2. Отличие теоремы от правила
- •3. Виды теорем
- •Практическая работа. Структура теоремы. Виды теорем
- •Тема 9. Математическое доказательство
- •1. Понятие умозаключения.
- •2. Дедуктивные умозаключения Умозаключения, построенные по схеме
- •3. Индуктивные умозаключения. Полная индукция
- •Все s1, s2,..., Sп исчерпывают весь класс s (4) Все s есть р
- •4. Неполная индукция
- •5. Математическая индукция
- •6. Аналогия
- •7. Умозаключения «от противного»
- •8. Некоторые виды неправильных умозаключений
- •9. Логическая структура математической задачи
- •10. Закон достаточного основания и аксиоматический метод в математике
- •Практическая работа. Математическое доказательство
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 10. Текстовая задача и процесс ее решения
- •1. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач
- •2. Структура процесса решения текстовой задачи
- •2. Методы и способы решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •1. Анализ задачи
- •4. Поиск и составление плана решения задачи
- •5. Осуществление плана решения задачи
- •6. Проверка решения задачи
- •7. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Практическая работа. Текстовая задача и процесс ее решения
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 11. Комбинаторные задачи и их решение
- •1. Комбинаторика
- •2. Правила суммы и произведения
- •3. Размещения и сочетания
- •Практическая работа. Комбинаторные задачи и их решение
- •Вопросы для коллоквиума
- •Модуль 3. Целые неотрицательные числа
- •Тема 12. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •1. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •2. Об аксиоматическом способе построения теории
- •3. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •4. Количественные натуральные числа. Счет
- •Семинарское занятие. История возникновения понятия натурального числа Вопросы к изучению
- •Вопросы для самоконтроля
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 13. Теоретико-множественный подход к построению натурального ряда чисел. Теоретико-множественный смысл арифметических действий.
- •1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •2. Теоретико-множественный смысл суммы
- •3. Теоретико-множественный смысл разности
- •4. Теоретико-множественный смысл произведения
- •5. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Практическая работа. Теоретико–множественный смысл суммы, разности, произведения, частного и отношения «меньше»
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Тема 14. Позиционные и непозиционные системы исчисления
- •1. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •2. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Практическая работа. Запись целых неотрицательных чисел
- •Теоретическая часть
- •Основные понятия темы
- •Тема 15. Алгоритмы действий над целыми неотрицательными числами
- •1. Алгоритм сложения
- •2. Алгоритм вычитания
- •3. Алгоритм умножения
- •4. Алгоритм деления
- •Практическая работа. Алгоритмы арифметических действий
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Тема 16. Отношение делимости и его свойства Содержание
- •Признаки делимости.
- •Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
- •1. Отношение делимости и его свойства
- •2. Признаки делимости
- •3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •4. Простые числа
- •5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •Практическая работа. Делимость натуральных чисел
- •Тема 17. О расширении множества натуральных чисел
- •1. Понятие дроби
- •2. Положительные рациональные числа
- •3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •4. Действительные числа
- •Практическая работа. Действия над положительными действительными числами
- •Вопросы к коллоквиуму
- •Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»
- •Теоретико-множественный смысл суммы.
- •Теоретико-множественный смысл разности.
- •Признаки делимости.
- •Тема 18. Натуральное число как мера величины. Измерение величин
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины
- •3. Смысл суммы и разности
- •Практическая работа. Понятие положительной скалярной величины
- •Практическая работа. Обоснование выбора действий при решении текстовых задач в начальной школе
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Определения, теоремы, выводы
- •Тема 19. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства
- •1. Понятие геометрической фигуры
- •2. Углы
- •3. Параллельные и перпендикулярные прямые
- •4. Треугольники
- •5. Четырехугольники
- •Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
- •1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- •2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы раны.
- •6. Многоугольники
- •7. Окружность и круг
- •8. Построение геометрических фигур на плоскости.
- •1. Построить на данной прямой отрезок со, равный данному отрезку ав.
- •2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
- •3. Найти середину отрезка.
- •4. Построить биссектрису данного угла.
- •5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
- •9. Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования
- •1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия).
- •2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия).
- •3. Гомотетия.
- •10. Движения и равенство фигур
- •Практическая работа. Решение геометрических задач
- •Практическая работа. Основные задачи на построение на плоскости
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 20. Изображения пространственных фигур
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Практическая работа. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 21. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •2. Величина угла и ее измерение
- •3. Понятие площади фигуры и ее измерение
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Практическая работа. Геометрические величины
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Правила, замечания
- •Практическая часть
- •Список литературы
- •Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений специальности: «начальное обучение»
- •Глузман Неля Анатольевна Кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой методик начального и дошкольного образования рвуз «Крымский гуманитарный университет» (г. Ялта)
Основные понятия темы
числовая функция;
область определения функции;
область значений функции;
график функции;
прямая пропорциональность;
обратная пропорциональность.
Основные выводы, замечания
Числовую функцию можно задать с помощью формулы (она представляет собой уравнение с двумя переменными), графика на координатной плоскости, таблицы.
Функции могут обладать свойством монотонности, т.е. возрастать или убывать на некотором промежутке.
Свойства, присущие только прямой и обратной пропорциональности можно использовать при обучении младших школьников решению задач с пропорциональными величинами.
Практическая часть
Обязательные задания
Понятие функции является фундаментальным математическим понятием. В процессе эволюции математики оно определенным образом изменилось. Раскройте основные этапы возникновения определения функции в историческом аспекте. Приведите примеры пропедевтических учений Н. Орема (1323-1382), Г.В. Лейбница (1646-1716), И. Бернулли (1718г.), Л.Эйлера (1707-1783) о функции. Дайте определение функции М.И. Лобачевским (19 в.) и определения функции в современных учебниках алгебры и математики.
Каждому целому неотрицательному числу поставлен в соответствие его остаток от деления на 5. Изобразите схематично это соответствие, взяв в качестве множества X первые 20 натуральных чисел. Будет ли это соответствие функцией? Каким числам соответствует нуль?
Соответствие f задано следующим образом: «Каждому двузначному числу соответствует сумма его цифр». Убедитесь, что это соответствие является функцией. Укажите область определения и множество значений функции. Вычислите значения функции f (41); f (56); f (83). При каких значениях аргумента значение функции равно 2 ?
Представьте различными способами число 5 как сумму двух натуральных чисел. Запишите аналитически связь между слагаемыми. Сколькими способами можно представить 5 как сумму двух натуральных чисел?
Какие из следующих формул задают на множестве R действительных чисел функцию: а) у = 4х; б) у = ; в) х2 + у2 = 4?
Связь между переменными х и у задана формулой х2 + у2 = 25. Задайте эту связь словесно и геометрически. Выразите каждую из переменных через другую. Являются ли эти зависимости функциями? Если нет, то измените соответствующие формулы так, чтобы они задавали функции.
Постройте график функции у = 5 - х, если ее область определения такова: а) Х = {0,1, 2, 3,4, 5}; б) Х = [0;5; в) Х = R.
Постройте графики следующих функций при условии, что они заданы на множестве R действительных чисел: а) у = х; б) у = 3; в) х = 5; г) у = 0.
Функция f задана при помощи таблицы:
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
y |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
а) Укажите ее область определения и область значений.
б) Задайте функцию f при помощи формулы.
в) Постройте график функции f на координатной плоскости.
г) Докажите, что функция f возрастает на всей области определения.
Докажите, что соответствие между значениями переменных х и у, рассматриваемое в задаче, является функцией; укажите область ее значений при условии, что х < 5; постройте график данной функции: а) Катя купила 3 тетради, а Лена на х тетрадей больше. Сколько тетрадей (у) купили Лена и Катя вместе? б) Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли два туриста. При встрече оказалось, что один прошел 3 км, а второй на х км больше. Каково расстояние (у км) между пунктами А и В?
Сравните функции, о которых идет речь в предыдущем упражнении. Чем они похожи? В чем их различие? Какими будут графики данных функций?
У одного ученика было 2 тетради. В течение 6 дней он каждый день покупал по 3 новых тетради. Сколько тетрадей (у) у него будет через х дней? Выразите у через х и покажите, что установленное соответствие - функция. Укажите ее область определения и область значений. Постройте график.
Известно, что функция f является прямой пропорциональностью, задана на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и при х, равном 3, значение функции равно 12.
а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.
б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика?
в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «В 3 пакета разложили поровну 12 кг муки. Сколько килограммов муки можно разложить в 6 таких пакетов?»
Известно, что функция f является обратной пропорциональностью, задана на множестве Х = {1,2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} и при х, равном 5, значение функции f равно 6.
а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.
б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика?
в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «Муку разложили в 10 пакетов по 3 кг в каждый. Сколько получилось бы пакетов, если бы в каждый положили по 6 кг муки?»
Покажите, что зависимость между величинами, о которых идет речь в нижеприведенной задаче, может быть выражена формулой у = kх. Из 24 м ткани сшили 8 одинаковых платьев. Сколько потребуется ткани на 16 таких же платьев?
Учитель, проводя с детьми анализ задачи (см. пред. упр.), спрашивает: «Если на 8 платьев израсходовали 24 м ткани, то на 16 платьев израсходуют больше или меньше ткани?» Дети отвечают, что больше, так как 16 больше 8. О каком свойстве и какой функции в этом случае идет речь?
Задайте при помощи формулы соответствие, которое рассматривается в задании: а) Запиши несколько примеров на деление с результатом 10. б) Составь все возможные примеры на сложение однозначных чисел с ответом 10. Установите, являются ли эти соответствия функциями.
Одна сторона прямоугольника 3 см, а другая - х см. Какова площадь (у см2) этого прямоугольника? Постройте график полученного соответствия при условии, что х 6. Докажите, что это соответствие - функция.
Площадь прямоугольника с основанием х см равна 12 см2. Какова высота (у см) этого прямоугольника? Покажите, что соответствие между значениями переменных х и у является функцией и постройте ее график при условии, что 1 х 12.
Какие из нижеприведенных задач можно решить в начальной школе двумя способами: а) Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч и был в пути 2 ч. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 4 км/ч? б) Из 100 кг свеклы при переработке получается 16 кг сахара. Сколько килограммов сахара получится из 3 т свеклы? в) Два опытных участка имеют одинаковую площадь. Ширина первого участка 30 м, ширина второго - 40 м. Найдите длину первого участка, если известно, что длина второго участка равна 75 м.
Творческие задания
Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 4х. Является ли данное уравнение моделью этой задачи?
Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 60х.
Найдите учебника математики для начальной школы текстовые задачи на зависимость вида у = кх.
Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 4х + 2.
Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 15х + 20.
Составьте текстовую задачу на зависимость вида у = х/6.
Составьте текстовую задачу на зависимость вида у = х/4.
Приведите примеры текстовых задач начального курса математики, между величинами которых прямая пропорциональная зависимость.