Тема 3. Понятие соответствия Содержание
Понятие соответствия между множествами.
Способы задания соответствий.
Соответствие обратное данному.
Взаимно однозначное соответствие.
Равномощные множества. Счетные множества.
Основная литература 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34;
Дополнительная литература 1, 10, 14, 74
1. Понятие соответствия между множествами
В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике этих взаимосвязей.
Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
Пример 1. а) (17 – 1) : 4; б) (12 + 18) : (6-6); в) 27 + 6. Пример 2. 1) 2+х =6; 2) х-7=4; 3) 2х=8.
В первом примере мы установили соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выяснили, какое число является решением уравнения.
Все эти соответствия имеют общее – во обоих случаях мы имеем два множества: в первом – это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором – это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел.
Связь (соответствие) между этими множества можно представить наглядно, при помощи графов.
N
1 N
2
Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары – это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.
Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами R, P, F, T и др.
2. Способы задания соответствий
Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества.
Пример. Соответствие между множествами Х = 1, 2, 4, 6 и У = 3, 5 можно задать: 1) при помощи предложения с двумя переменными: а в при условии, что а Х, в У; 2) перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения ХУ: (1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(4,5). К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа и графика.
у
Х У
5
3
1 2 4 х
3. Соответствие обратное данному
Пример. Пусть S – соответствие «больше на 2» между множествами Х = 4, 5, 8, 10 и У = 2, 3, 6. Тогда S = (4,2), (5,3), (8,6) и его граф будет как на рисунке.
С
оответствие
обратное данному, - это соответствие
«меньше на 2». Оно рассматривается между
множествами У и Х, и чтобы его представить
наглядно, достаточно на графе соответствия
S направление стрелок поменять на
противоположное (См. рисунок).
Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: х S у.
Определение. Пусть S – соответствие между множествами Х и У. Соответствие S-1 между множествами У и Х называется обратным данному, если у S-1х тогда и только тогда, когда х S у. Соответствия S и S-1 называют взаимно обратными.
Выясним особенности их графиков. Построим график соответствия S = (4,2), (5,3), (8,6)
у
6
3
2
4 5 8 х
у
8
5
4
2 3 6 х
При построении графика соответствия S-1 = (2,4), (3,5), (6,8) мы должны первую компоненту выбирать из множества У = 2,3,6, а вторую – из множества Х = 4, 5, 8, 10. В результате график соответствия S-1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S-1, условились первую компоненту пары соответствия S-1 считать абсциссой, а вторую – ординатой. Например, если (5,3) S, то (3,5) S-1. Точки с координатами (5,3) и (3,5), а в общем случае (х,у) и (у,х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S-1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
Чтобы построить график соответствия S-1, достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графика S относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.