Algebra_i_geometriya / ІІ модуль / Perelik_pitan_do_zmistovogo_modulja_2

Перелік питань до змістового модуля 4

1. Многочлени від однієї змінної. Додавання, віднімання та множення многочленів. Властивості цих дій.

2. Ділення многочленів. Теорема про ділення многочленів з остачею. Подільність многочленів. Властивості подільності.

3. Дільники многочлена. Спільні дільники двох многочленів. Найбільший спільний дільник двох многочленів. Алгоритм Евкліда.

4. Взаємно прості многочлени, їх властивості.

5. Корінь многочлена. Теорема Безу. Кратні корені.

6. Схема Горнера та її застосування до знаходження значення многочлена та його похідних в точці, до розкладу многочлена за степенями (x-a).

7. Основна теорема алгебри про існування коренів многочлена від однієї змінної. Розклад многочлена на множники.

8. Формули Вієта. Інтерполяційна формула Лагранжа.

9. Алгебраїчні методи знаходження коренів многочленів через їх коефіцієнти. Формули Кар­дано. Метод Феррарі (на практиці).

10. Знаходження раціональних коренів многочленів з раціональними коефіцієнтами. Звідність поліномів над полем раціональних чисел.

11. Раціональні дроби. Дії над ними. Властивості цих дій. Правильні, неправильні, скоротні та нескоротні раціональні дроби. Прості дроби 1-го та 2-го типу. Основна теорема про раціональні дроби.

12. Означення та формули обчислення верхньої та ниж­ньої меж додатних і верхньої та нижньої меж від'ємних коренів многочлена від однієї змінної.

13. Система многочленів Штурма. Теорема Штурма про кількість на відрізку коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами.

14. Теореми Бюдано-Фур’є та Декарта про кількість на відрізку коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами.

15. Наближене обчислення коренів многочленна з дійсними коефіцієнтами. Метод хорд. Метод дотичних (на практиці).

16. Одночлен, многочлен від декількох змінних над деяким полем. Дії над многочленами та їх властивості.

17. Степінь многочлена від багатьох змінних. Лексикографічний запис многочлена. Старший член многочлена. Теорема про старший член добутку многочленів від багатьох змінних.

18. Симетричні многочлени. Означення та властивості. Елементарні симетричні многочлени.

19. Основна теорема про симетричні многочлени та наслідки з неї.

20. Степеневі суми та симетричні раціональні дроби (на практиці).

21. Результант. Його означення та властивості. Застосування результанта до розв'язування систем алгебраїчних рівнянь. Дискримінант. Його означення та властивості.

22. Квадратична форма. Дійсна та комплексна квадратичні форми. Канонічний та нормальний вигляд квадратичної форми. Невироджене лінійне перетворення квадратичної форми.

23. Означення квадратичної форми. Теорема Лагранжа про існування невиродженого лінійного перетворення, яке приводить квадратичну форму до канонічного вигляду.

24. Ранг, сигнатура, додатний та від'ємний індекси інерції. Закон інерції. Еквівалентність квадратичних форм. Класи еквівалентності.

25. Додатно визначена квадратична форма. Означення та властивості. Критерій Сильвестра.

26. Квадратичні форми, що розкладаються на добуток лінійних форм. Критерій розкладу.

2