Звідси одержуємо:

.

Формула (3) називається формулою Тейлора, а одержаний вираз залишковим членом у формі Лагранжа.

Оскільки , то, де. Тоді

, де.

Якщо в формулі Тейлора покласти , то тоді

При маємо формулу Лагранжа

Якщо функція в околі точкиобмежена, то залишковий членє нескінченно малою вищого порядку порівняно зпри. Дійсно

.

Отже, залишковий член можна подати у формі

при,

яка називається формою Пеано.

Якщо в формулі Тейлора покласти , то одержимо формулу Маклорена

.

У цій формулі залишковий член у формі Лагранжа має вигляд

де,

а в формі Пеано

.

Приклади.Записати формулу Маклорена для функції 1); 2); 3).

Розв'язування.

1. . Оскільки, то. Отже,

.

2. . Так як, то

Звідси маємо

3. .;

;

ЛЕКЦІЯ 21

25. Ознака монотонності функції.

26. Екстремальні точки.

27. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції.

4. Знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку.

1. Ознака монотонності функції

Теорема .Якщо функціядиференційована на інтервалііна, то функціязростає (спадає).

Доведення.Нехай для визначеності. Візьмемо в інтервалідві довільні точкитакі, що. На відрізкуфункціязадовольняє умовам теореми Лагранжа. Отже, існує точкатака, що

.

Звідси випливає, що за умов імаємо:, тобто.

Для випадку доведення аналогічне.

2. Екстремальні точки

Точка називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції, якщо існує- окілточкитакий, щодля будь-якої відмінної відточки. При цьому саме значенняназивається локальним максимумом (мінімумом) функції.

Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму або екстремальними точками функції.

3. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції

Необхідна умова існування локального екстремуму функції.Якщо в точціфункціямає екстремум, то існує окілточки, в якому значенняє найбільшим або найменшим. Отже, якщо в точціфункціядиференційована, то згідно теореми Ферма.

Зазначимо, що коли функція диференційована в точціі, то або, тобто функція зростає, абоі функція спадає. Звідси випливає, що функціяможе мати екстремум лише в тих точках, у яких її похіднарівна нулю, або не існує.

Точки, в яких похідна функції рівна нулю, називаються стаціонарними. Стаціонарні точки й точки, в яких функціявизначена, але її похіднане існує називаються критичними.

Отже, для того, щоб функція мала в точціекстремуму, необхідно, щоб ця точка була критичною.

Достатні умови існування екстремуму функції.

Теорема.Нехайкритична точка функції,неперервна в точціі має похіднув усіх точках околуза виключенням, можливо самої точки. Тоді

1. якщо і, то точкає точкою максимуму функції.

2. якщо і, то точкає точкою мінімуму функції.

3. Якщо в околімає один і той же знак, тоне є точкою екстремуму функції.

Доведення.1). Нехайі. Звідси за ознаками монотонності функції маємо: якщоі. Отже, для будь-якогоіз околувиконується нерівність, тобто точкає точкою максимуму функції.

Доведення пунктів 2), 3) аналогічні.

Із сказаного випливає правило дослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функціюна екстремум треба:

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти першу похідну функції.

3. Розв’язати рівняння та визначити ті значення, при якихабоне існує. Нехай після виконання цих дій одержано точки, які знаходяться в інтерваліобласті визначення функції.

4. У кожному з інтервалів взяти довільну точку і визначити в ній знак першої похідної. Який знак матиме похідна у вибраній точці, такий же знак вона матиме й у відповідному інтервалі.

5. Розглянути знак у сусідніх інтервалах, переходячи послідовно зліва направо від першого інтервалу до останнього. Якщо при цьому знакиу двох сусідніх інтервалах різні. То в критичній точці є екстремум: максимум, якщо знак змінюється з “+” на “-“, мінімум, якщо знак змінюється з “-“ на “+”. Якщо ж у двох сусідніх інтервалах знак першої похідної не змінюється. То екстремуму у відповідній критичній точці немає.

Приклад.Дослідити на екстремум функцію

.

Розв’язування.

1. Функція визначена в інтервалі .

2. .

3. Розв’язками рівняння є.

4. В інтервалі , функція спадає; в інтервалі, функція зростає; інтервалі, функція спадає; в інтервалі, функція зростає.

5. Точки є точками мінімуму, а точкає точкою максимуму даної функції.

6. .

Для знаходження екстремумів функції можна застосовувати другу похідну. Це випливає із наступної теореми.

Теорема . Нехайстаціонарна точка функціїі в цій точці існує похідна другого порядку. Тоді, якщо, то точкає точкою мінімуму функції, а якщо, то – максимуму.

Доведення.Згідно з умовою теореми. Нехай. Тоді похіднав точціє зростаючою функцією, а тому існує окілточкитакий, щоі. Оскільки, тоі, тобто при переході через точкупохідназмінює свій знак з ““ на “+”. Отже, точкає точкою мінімуму функції.

Випадок, коли досліджується аналогічно.

Скориставшись формулою Тейлора, можна довести наступну теорему.

Теорема.Якщо в стаціонарній точціфункціїперша відмінна від нуля похіднає похідною парного порядку, то точкає точкою екстремуму функції: точкою мінімуму, якщоі точкою максимуму, якщо. Якщо ж перша відмінна від нуля похіднає похідною непарного порядку, то точкане є точкою екстремуму функції.

4. Знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку

Для знаходження найбільшого й найменшого значення функції , неперервної на відрізку, потрібно знайти всі її локальні екстремуми на цьому відрізку та її значення на кінцях відрізка, тобто. Потім з одержаних значень вибрати найменше й найбільше.

ЛЕКЦІЯ 22

1. Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину.

2. Асимптоти графіка функції.

3. Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків.