2. Похідні й диференціали вищих порядків

Похідна функціїсама є деякою функцією аргументу. Отже, можна ставити питання про існування похідної від функції. Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною. ЇЇ позначаютьабо. Отже,.

Приклад.Знайти похідну другого порядку функції.

Розв'язування.

,

.

Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається третьою похідною, або похідною третього порядку і т. д.

Якщо визначена похідна - го порядку функції, то похідною- го порядку називається перша похідна похідної- го порядку, тобто

.

Похідні, починаючи з похідної другого порядку, називаються похідними вищих порядків.

Формули п- них похідних деяких функцій. Нехай маємо функцію, тоді

Отже, похідну - го порядку функціїможна знайти за формулою

Аналогічно можна одержати формулу для обчислення - ої похідної функції

Обчислимо - ну похідну функції.

Нехай маємо показникову функцію. Послідовно диференціюючи цю функцію, одержуємо

Зокрема,

3. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.

Нехай , де- функції, які мають похідні будь-якого порядку. Тоді

Праві частини одержаних рівностей подібні на розвинення бінома Ньютона, але замість показників степенів стоять числа, які визначають порядок похідних. При цьому самі функції розглядаються як "похідні нульового порядку", тобто . Враховуючи це, одержуємо

Зауваження. Доведення викладених вище формул похідних проводиться методом математичної індукції.

4. Диференціали вищих порядків.

Нехай функція y = f (x)

диференційована в кожній точці деякого проміжку. Її диференціал першого порядкуdy =f ′(x)dx

є функцією двох змінних: аргументу і диференціала. Нехайтакож диференційована в кожній точцідеякого проміжку. Будемо розглядати у виразідиференціаляк постійний множник. Тоді

.

Диференціал називається диференціалом другого порядку і позначається. Отже,

.

Диференціал від диференціала, взятий при постійномуназивається диференціалом-го другого порядку функціїі позначається.

Методом математичної індукції можна встановити, що

.

Із останньої формули випливає, що

,

або в іншій редакції

.

Тема 5. Застосування диференціального числення до дослідження функцій

ЛЕКЦІЯ 18

17. Теореми про середнє значення.

18. Теорема Ферма.

19. Теорема Ролля.

20. Теорема Лагранжа.

21. Теорема Коші.

1. Теореми про середнє значення

Важливе значення у курсі математичного аналізу мають так звані теореми про середнє значення диференціального числення, в яких під знаком похідної знаходиться середнє значення незалежної змінної, котре взагалі нам невідоме. Воно і похідній надає, в деякому розумінні, середнє значення. У зв’язку з цим усі ці теореми називають “теоремами про середнє”.

2. Теорема Ферма

Теорема.Нехай функціявизначена на інтерваліі в деякій точцімає найбільше або найменше значення. Тоді, якщо в цій точці існує похідна, то вона рівна нулю, тобто.

Доведення.Нехай для визначеності функціяв точціприймає найбільше значення, тобтодля всіх.

За означенням похідної

,

причому ця границя не залежить від того, як буде прямувати до. Якщоі, то, а тому

.

Якщо ж і, то.

Отже,

.

Звідси випливає, що .

Аналогічно розглядається випадок, коли в точці функціядосягає найменшого значення.

Обертання в нуль похідної в точці , означає, що дотична до графіка функціїв точці з абсцисоюпаралельна вісі(рис. 22).

Зауваження.Теорема Ферма справедлива, коли, і неправильна, коли замість інтервалурозглядати відрізок. Наприклад, функціяна відрізкуприймає найменше значення в точці, а найбільше в точці. Проте в жодній із цих точок похідна в нуль не обертається.