5. Математическая формулировка модели термо-химической конвекции в мантии

Количественные модели конвекции в мантии, учитывающие химические неоднородности мантийного вещества либо в форме пассивных примесей [38, 47], либо в виде химического фактора плавучести [8, 9, 17, 18, 48, 60], рассматривались начиная с 80-х годов, несмотря на доминирование работ по чисто тепловой конвекции в мантии все эти годы.

Воспользуемся для численного моделирования приближением Буссинеска, при котором малые изменения плотности учитываются только в силе тяжести, причем в виде линейной зависимости:

 = о (1- T - c)

Здесь Т – температура среды, С – концентрация «легкой» или «тяжелой» химической добавки к среднему мантийному веществу.

Считая коэффициенты вязкости -  , температуропроводности -  и теплового расширения - , а также ускорение свободного падения - g и плотность -  (в остальных слагаемых) неизменными в пределах мантийного слоя, примем хорошо известную [22, 60] модель ньютоновской жидкости большой вязкости.

В безразмерных переменных основные уравнения для этой модели имеют следующий вид:

divV = 0 , (1)

p - Ra (T +  c)e_r = V (2)

 T/ t +VT = T + q (3)

 c/ t + Vc = k (4)

Здесь V – вектор скорости среды; Р – давление; е_r – единичный вектор;

q – объемный источник тепла; k – источник химической добавки вещества.

Критериями подобия модели являются число Рэлея и параметр 

Ra = g ToL³ /  ,  = 1/ To

Здесь L - характерный линейный размер, To - перепад температур. Число Прандтля в силу большой вязкости принимается бесконечными, поэтому в уравнение движения (2) не входят инерционные члены.Источниковые члены в уравнениях (3-4) позволяют моделировать подвод тепла и изменение состава мантийного вещества при наличии химических или фазовых превращений, а также в результате радиоактивного распада или вязкой диссипации.

Граничные условия, выставляемые на внешней и внутренней границах мантийного слоя, сохраним в традиционном виде. То есть будем считать, что границы фиксированы и на них выполняются условия изотермичности, непротекания и отсутствия касательных напряжений:

r₁ : T = 0, Vr = 0,  = 0

r₂ : T = 1, Vr = 0,  = 0

Заметим, что граничные условия для концентрации C не требуются, поскольку в уравнение (4) не входит диффузионный член (из-за пренебрежимо малого коэффициента диффузии).

Кроме граничных условий для проведения расчетов по модели (1-4) необходимо также задавать начальные распределения температуры и концентрации, что будет делаться в дальнейшем при описании численных экспериментов.

Система уравнений (1-4) записана в инвариантном, т. е. независящем от выбора конкретной системы координат, виде. Выбор координат или , иначе говоря, геометрии модели является специфическим и очень важным элементом численного моделирования. Наглядной иллюстрацией роли выбранной геометрии модели могут служить приводимые ниже результаты этой работы.

Разумеется полномасштабное моделирование мантийной конвекции должно быть 3х-мерным, что требует использования самых мощных суперкомпьютеров. Заметим, что количество информации получаемой в ходе 3D-моделирования при этом настолько велико, что возникает проблема ее восприятия человеком. Поэтому на современном этапе выявления и понимания сути реального конвективного геодинамического процесса использование 2D-моделирования представляется не только допустимым, но и целесообразным перед тем, как приступать к 3D-моделированию.

Наиболее распространенными при 2D-моделировании являются декартовы, сферические и цилиндрические системы координат с отсутствием в них одной координаты (плоские и осесимметричные течения). Все эти модели обладают известными недостатками, при этом лучшей из них представляется цилиндрическая система координат, которая, при отсутствии зависимости от координаты z, сводится к полярным координатам r ,  . С точки зрения описания мантийной конвекции основным недостатком полярных координат является то обстоятельство [17], что радиальная скорость в этом случае пропорциональна 1/r, а не - 1/r² как в реальной мантии. Но такое различие можно элементарным образом учесть соответствующей формой записи уравнений (1-4). Ввиду важности такой записи для геодинамических приложений поясним ее происхождение.

Плоские течения в цилиндрических координатах можно смоделировать экспериментально в установке с геометрией показанной на рис.11а , если сделать боковые стенки скользкими и теплоизолированными (адиабатическими), а зазор  между ними малым, чтобы исключить изменения поперек слоя. Тогда для двумерного моделирования, соответствующего 3х-мерной мантии, необходимо заменить плоские стенки на конические боковые стенки (рис. 11б). Строгое обоснование интересующей нас двумерной записи уравнений получается путем предельного перехода   0 в рамках 3х-мерной задачи, записанной в сферических или конических координатах. Опуская доказательство, приведем лишь конечный результат, который сам по себе является очевидным, а чтобы подчеркнуть отличие нашей двумерной записи модели ( 1-4) от цилиндрического случая, условно назовем наши координаты r ,  псевдополярными:

DivV = (1/r² ) r² Vr/ r + (1/r)V_/  = 0

Следовательно, можно ввести функцию тока , полагая

V_r = 1/r²  / , V_ =  1/r / r

 = (1/r² )[ / r (r²  / r) + ² /² ] = 0

Перед составлением алгоритма была проведена конечно-разностная аппроксимация исходных уравнений в частных производных на равномерной координатной сетке, при этом использование центральных разностей обеспечило второй порядок точности аппроксимации по пространственным переменным.

Интегрирование по времени уравнений (3) и (4) осуществлялось попеременно-треугольным методом [16], а для решения краевых задач, определяющих поле скоростей на каждом временном слое, т. е. уравнений (1) и (2), использовался многосеточный метод (мультигрид) [27].

Таким образом, полный алгоритм состоит из двух независимых программ. Каждая программа в отдельности (осуществляющая решение линейного уравнения) тестировалась по аналитическим решениям. Совместное использование программ для решения общей нелинейной задачи тестировалось по достоверным экспериментальным данным и показало хорошую точность алгоритма.