дов
.pdfЗамечание. В доказательстве использовалось лишь, что неотрицательная случайная величина.
Предложение 2. Моментом остановки для винеровского процесса w на [0; 1) для любого
y > 0 является |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(!) = |
inf |
t : w |
(!) |
|
y |
g |
; |
если такие t > 0 существуют; |
1;f |
t |
|
|
|
если таких t > 0 не существует: |
Доказательство. Очевидно, что ввиду непрерывности траекторий
f y tg = fsups tws yg = fsupfws : s 2 Q \ [0; t]g yg 2 Ft
для всех t 0. Теперь покажем, что Pf y = 1g = 0.
Предположим противное: Pf y = 1g = " > 0. Построим ряд из строго положительных
P |
" 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чисел |
n n |
< "=2. По этому ряду построим по индукции последовательность положительных |
|||||||||||||||||||||||||||||||
чисел tn |
|
|
|
и последовательность отрицательных чисел xn |
|
. Число xn выбираются по |
|||||||||||||||||||||||||||
tn 1 и tn так, что |
|
|
|
|
|
Pfwtn wtn 1 xng < n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Snf tn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
xng, P(A) < "=2. Легко видеть,j |
чтоj |
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tn 1 |
|||||||||||||
|
|
+y < ptn+1 |
|
tn. Обозначим A = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
а tn+1 выбирается из условия x1 +:::+ |
xn |
|
|
w |
|
|
w |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
f |
|
t |
|
t |
|
g f |
n |
|
tn |
|
g |
|
|
[ |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
sup w |
|
y |
|
|
sup w |
|
y |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ptn+1 |
|
|
|
|
< 1 |
|||
Pf y = 1g P(A) + |
|
n |
Pfwtn+1 wtn jx1j + ::: + jxnj + yg P(A) + |
n |
|
tn |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
wtn+1 |
wtn |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pfw1 < 1g < "=2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n
что противоречит нашему предположению.
Далее мы докажем принцип отражения, позволяющий решать многие задачи в теории винеровского процесса. Мы опять будем использовать представление момента остановки как предела (n) со значениями вида k=n.
Теорема 1. Пусть момент остановки винеровского процесса wt, 0 t < 1, тогда
новый процесс |
|
|
|
если t (!); |
w( ) |
(!) = |
wt(!); |
||
t |
|
2w (!) wt(!); |
если t > (!): |
также является винеровским.
Доказательство. Доказать, что wt( ) является винеровским означает доказать, что совместные распределения случайных величин w( )t1 ; :::; w( )tm те же, что и у винеровского процесса.
В силу непрерывности траекторий процесса w имеет место п.н. сходимость wt( (n)) ! wt( ) для любого t. Поэтому достаточно доказать теорему для любого дискретного момента остановки(n). Добавим к уже упорядоченному набору ft1; :::; tmg все дроби k=n tm, получим набор S = fs1; :::; spg, который мы также будем считать упорядоченным по возрастанию. Заметим, что нам достаточно доказать совпадение совместных распределений наборов
|
(n) ws1 ;(n)s2 |
|
w |
s1(n) |
|
sp |
(n)sp 1 |
; |
(n) |
|
|
||
ws1 |
w |
|
|
:::; w |
w |
|
|
|
|
||||
); ws2 |
ws1 |
|
) |
:::; wsp |
) |
wsp 1 |
: |
||||||
( |
( ) |
|
( |
|
( |
|
( |
|
) |
|
|||
191
Обозначим Ak = f (n) = nk g. Так как произведения одномерных множеств в пространстве Rp порождают -алгебру (см. доказательство теоремы 6.4) нам достаточно проверить совпадение вероятностей событий.
Теорема 2.
Доказательство.
§33. Диффузионные процессы
1. Введение. Условные вероятности перехода.
Мы уже говорили о том, что марковские процессы (t) – это процессы, будущее которых при фиксированном настоящем не зависит от прошлого процесса. Таким образом, зная значение процесса (t), мы можем вычислить вероятности событий f (t + h) 2 Bg, которые являются условными вероятностями P f (t + h) 2 Bj (t) = xg. Марковскими процессами являются случайное блуждание, пуассоновский и винеровский процессы. Для пуассоновского процесса смысл условной вероятности прозрачен и мы имеем
P f (t + h) 2 Bj (t) = kg = P f (t + h) 2 B; (t) = kg = f(t; x; t + h; B):
P f (t) = kg
Для винеровского процесса такая формула не подходит, так как
P f (t) = xg = 0 для любого x:
Но у винеровского процесса можно ввести условную плотность. Сейчас мы введем это понятие. Пусть p;(x; y) совместная плотность случайных величин , . Тогда у случайной величины также имеется плотность, записываемая формулой:
Z
p (x) = p;(x; y)dy:
R
Условная плотность задается формулой, аналогичной формуле для условной вероятности:
p (yj = x) = p;(x; y): p (x)
Итак, мы рассматриваем марковский случайный процесс (t) с непрерывным временем, где 0 t 1. Процесс может иметь счетное число состояний (то есть случайные величины(t) принимают лишь счетное число значений с ненулевой вероятностью, значения мы будем обозначать натуральными числами i = 1; 2; 3; :::). В этом случае мы обозначим
P (s; i; t; j) = P f (t) = jj (s) = ig :
Эти условные вероятности называются вероятностями перехода из состояния i в состояние j за время от s до t. В случае, когда случайные величины (t) имеют совместные плотности (а следовательно, множество значений никак не может быть счетным) мы обозначим плотность вероятностей перехода из состояния x в состояние y за время от s до t:
p(s; x; t; y) = p (t)(yj (s) = x):
2. Уравнение Колмогорова Чепмена. Пусть s < u < t. Тогда
Z 1
p(s; x; t; y) = p(s; x; u; z)p(u; z; t; y)dz:
1
192
В непрерывном случае для доказательства уравнения Колмогорова Чепмена нужно приложить определенные усилия. В дискретном случае счетного числа состояний все очень просто и мы доказали дискретный аналог этого равенства (пункт 28.1):
X |
( ) |
P (s; i; t; j) = P (s; i; u; k)P (u; k; t; j): |
|
k |
|
Отметим также тождество, которое будет позднее использовано несколько раз:
Z 1
p(s; x; u; z)dz = 1: |
( ) |
1
3. Аксиомы диффузионных процессов.
В дальнейшем предполагается, что существуют такие функции a(t; x) и b(t; x), зависящие от времени и места, что для всех " > 0 имеют место соотношения:
Z |
Zjz xj>" p(t; x; t + t; z)dz = o( t); |
(1) |
(z x)p(t; x; t + t; z)dz = a(t; x) t + o( t); |
(2) |
jz xj "
Z
(z x)2p(t; x; t + t; z)dz = b(t; x) t + o( t): |
(3) |
jz xj "
Легко проверяется, что процесс броуновского движения также удовлетворяет этим аксио-
мам с
a(t; x) = m; b(t; x) = 2:
Таким образом, диффузионный процесс можно рассматривать как броуновское движение в неоднородной среде, свойства которой со временем меняются.
4. Дифференциальные уравнения Колмогорова
Прямое уравнение Колмогорова
@p |
= |
@ |
[a(t; y)p(s; x; t; y)] + |
1 |
@2 |
[b(t; y)p(s; x; t; y)]: |
||
@t |
|
@y |
2 |
|
@y2 |
|||
Приведем здесь, кое-где не очень строгое, доказательство (из книги Ю.А. Розанова). Рассмотрим пробную функцию ' (т. е. бесконечно дифференцируемую функцию с компактным носителем)
'(z) = '(y) + '0(y)(z y) + |
1 |
'00(y)(z y)2 + o(z y)2: |
(4) |
2 |
Напомним, что равенство нулю интеграла от произведения всех пробных функций с данной функцией f влечет равенство почти всюду f = 0. Составим произведение (используя уравнение Чепмена – Колмогорова):
1 |
|
p(s; x; t + t; y) = Z 1 p(s; x; t; z)p(t; z; t + t; y)dz: |
( ) |
Теперь рассмотрим интеграл от производной по времении переходной плотности, умноженной на пробную функцию:
lim |
1 |
1 |
('(y))[p(s; x; t + t; y) |
|
p(s; x; t; y)]dy = |
|
t |
Z 1 |
|
||||
t!0 |
|
|
193
(учтем предыдущую формулу) |
|
|||||
|
lim |
1 |
1 1 |
1 |
|
|
= |
t |
Z 1 Z 1 |
'(y)p(s; x; t; z)p(t; z; t + t; y)dydz Z 1 |
'(y)p(s; x; t; y)]dydz = |
||
t!0 |
||||||
(далее мы поменяем ролями в первом интеграле переменные y и z и учтем, что
t; z)dz = 1)
|
lim |
1 |
1 1 |
['(z) |
|
'(y)]p(s; x; t; y)p(t; y; t + t; z)dydz = |
|
= |
t |
Z 1 Z 1 |
|
||||
t!0 |
|
|
R 1
1 p(t; y; t +
(учитывая (1) и ограниченность ', мы по z можем интегрировать лишь по некоторому интервалу jz yj < ", а " выбираем сначала из условия малости o(z y)2 в (4))
= lim |
1 |
|
1 y+" |
|
' |
(y)(z |
|
y) + |
1 |
' |
(y)(z |
|
y)2 |
+ o(z |
|
y)2 |
p(s; x; t; y)p(t; y; t+ t; z)dzdy = |
||
|
|
Z 1 Zy " |
|
|
|
|
|||||||||||||
t!0 |
t |
0 |
|
|
2 |
00 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
'0(y)a(t; y) + |
1 |
|
'00(y)b(t; y) p(s; x; t; y)dy: |
|||||||||
|
|
|
|
= Z 1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
Далее каждое из слагаемых мы интегрируем по частям, первое слагаемое один раз и второе два раза. Мы используем равенство нулю функции ' и ее производных вне некоторого интервала, поэтому слагаемые без интегралов зануляются. Напомним, что каждое интегрирование по частям меняет знак перед интегралом. Итак,
1 |
|
@ |
|
|
1 |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
1 |
@2 |
[b(t; y)p(s; x; t; y)] dy: |
|||||
Z 1 |
'(y) |
|
p(s; x; t; y)dy = |
Z 1 |
'(y) |
|
|
[a(t; y)p(s; x; t; y)] + |
|
|
|
||||||||||
@t |
@y |
2 |
@y2 |
||||||||||||||||||
Ввиду произвольности пробной функции ', получаем уравнение. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Обратное уравнение Колмогорова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
@p(s; x; t; y) |
|
|
@p(s; x; t; y) |
1 |
|
@2p(s; x; t; y) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= a(s; x) |
|
|
|
|
+ |
|
b(s; x) |
|
|
|
|
: |
||||
|
|
|
@s |
|
|
|
@x |
2 |
|
|
|
@x2 |
|||||||||
Строгое доказательство вы можете найти в книге Ю.А. Розанова. Там используется аппарат пробных функций (из теории обобщенных функций). Благодаря использованию пробных функций, как и выше, можно обосновать использование аксиом (1-3). Здесь я попробую объяснить причины этого уравнения.
1 |
|
p(s; x; t; y) = Z 1 p(s; x; s + s; z)p(s + s; z; t; y)dz: |
(5) |
Разложим p(s+ s; z; t; y) в ряд Тейлора в окрестности точки (s; z = x) по степеням s и z x. Получаем:
|
|
|
p(s + s; z; t; y) = |
|
|
|
|
||
= p(s; x; t; y) + |
@p |
(s; x; t; y) s + |
@p |
(s; x; t; y)(z x) + |
1 @2p |
(s; x; t; y)(z x)2: |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
@s |
|
@z |
2 @z2 |
||||||
Подставляем в (5), имеем (но все это очень нестрого!):
Z 1
p(s; x; t; y) = p(s; x; s + s; z)p(s; x; t; y)dz+
1
Z 1
+
1
|
|
1 |
|
@p |
|
|
|
|
|
|
|
+ Z 1 p(s; x; s + s; z) |
|
|
(s; x; t; y) sdz+ |
|
|
|
|
||
|
@s |
|
|
|
|
|||||
|
@p |
|
|
1 |
|
|
1 @2p |
|
||
p(s; x; s + s; z) |
|
(s; x; t; y)(z x)dz + |
Z 1 p(s; x; s + s; z) |
|
|
|
(s; x; t; y)(z x)2dz: |
|||
@x |
2 @x2 |
|||||||||
194
Используя аксиомы диффузионных процессов (это еще менее строго!), имеем (четырежды используем (***)):
|
|
|
|
|
|
p(s; x; t; y) = p(s; x; t; y)+ |
||
+ |
@p |
(s; x; t; y) s + |
@p |
(s; x; t; y)a(s; x) s + |
@2p |
(s; x; t; y)b(s; x) s + o( s): |
||
|
|
|
|
|
||||
@s |
|
@x |
@x2 |
|||||
Дальше сокращаем p(s; x; t; y) в левой и правой части и все делим на s, получаем обратное уравнение Колмогорова.
Упражнение. Проверьте, что условная плотность винеровского процесса удовлетворяет аксиомам диффузионных процессов и обоим уравнениям Колмогорова.
§34. Стохастические дифференциальные уравнения
Винеровский процесс рассматривается также в радиотехнике и интерпретируется там как результат интегрирования помех белого шума. В теории управления движущими аппаратами интегральное влияние случайной среды (например, порывы ветра, изменения давления) также считается винеровским процессом. Но при этом возникают и другие эффекты – в результате влияния среды меняется положение управляющих аппаратом систем (двигателя), и случайно накопившаяся ошибка может давать при этом дополнительную ошибку. Для описания такого рода явлений используется аппарат стохастических дифференциальных уравнений. Они вводятся с помощью различных стохастических интегралов.
Еще раз напомним, что для упрощения выкладок введем стандартный винеровский процесс w(t) это винеровский процесс с нулевым сносом m = 0 и единичным коэффициентом диффузии = 1. Произвольный винеровский процесс получается из него линейным преобразованием. Мы также изменим несколько обозначения и будем писать все процессы как функции времени (t)
1. Стохастические интегралы.
Стохастические интегралы, в которые входят случайные процессы (t), бывают трех видов:
T
Z
fg(t) + f(t) (t)g dt;
0
T
Z
f(t)d (t);
0
где f(t) это обычная функция, и самые сложные и случайные –
T
Z
(t)d (t);
0
где и два случайных процесса.
Стохастические интегралы определяются так же, как и обычные, то есть как предел интегральных сумм. Но при определении самых сложных интегралов возникают любопытные проблемы. Пределы интегрирования могут быть другими, но при сделанной выше записи видно, что в результате интегрирования возникают новые случайные процессы, (T ).
T
R
Интегральные суммы для f(t)w(t)dt записываются очевидным образом:
0
X
f(ti)w(ti)(ti+1 ti);
195
где 0 = t0 < t1 < < tn 1 < tn = T .
Сходимость интегральных сумм легко доказывается для непрерывной функции f и даже в значительно более общих ситуациях. Проще всего доказывать сходимость в среднем квадратическом (то есть n ! , если jEj n j2 ! 0). Сами интегральные суммы являются интегралами от кусочно постоянных случайных процессов. Знак lim ниже означает предел интегральных сумм.
T
R
В данной ситуации случайная величина f(t)w(t)dt также имеет нормальное распреде-
0
ление. Попробуем определить параметры этого распределения, то есть подсчитать среднее и дисперсию. Естественно, что все это мы будем делать не для интеграла общего вида, а лишь для интегральных сумм.
Итак,
E |
T |
(g(t) + f(t))w(t)dt = lim E |
(g(ti) + f(ti)w(ti))(ti+1 ti)! = |
|||
|
Z |
|
|
|
i |
|
|
0 |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
= lim |
i |
g(ti)(ti+1 ti) = Z |
g(t)dt: |
|
|
|
|
X |
|
0 |
|
Значительно хитрее считаются дисперсия или центральный смешанный момент. При ее подсчете мы вычитаем среднее, то есть убираем неслучайное слагаемое g(t) из под знака интеграла.
8 |
9 |
TT
ZZ
< =
E f(t)w(t)dt h(t)w(t)dt =
: ;
00
8 |
9 |
< |
= |
XX
= lim E |
|
f(ti)w(ti)(ti+1 ti) |
h(sj)w(sj)(sj+1 sj) = |
|||||||||
= lim |
: i |
|
(f(t |
)w(t |
)(t |
tj |
)h(s |
)w(s |
)(s |
j+1 |
s |
));= |
XXE |
i |
i |
|
i+1 i |
j |
j |
|
j |
|
|||
ij
XX
= lim f(ti)h(sj)K(ti; sj)(ti+1 ti)(sj+1 sj) =
ij
ZT Z T
=f(t)h(s)K(t; s)dtds:
00
Напомним, что в нашем случае K(t; s) = min(t; s). В частности,
D |
0 T f(t)w(t)dt1 |
= |
Z |
T |
Z |
T f(t)f(s) min(t; s)dtds: |
|
|
@ |
Z |
|
|
|
||
|
A |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Если в приближении интегральными суммами использовать в обоих интегралах одно и то же разбиение, то проще вычисляется
D |
0 T f(t)dw(t)1 |
= |
|
|
Z |
A |
|
0 T |
@0 |
1 |
|
|
T |
||
ZZ
= E @ f(t)dw(t) f(t)dw(t)A =
00
196
XX
= lim E (f(ti)(w((ti+1) w(ti)f(tj)(w(tj+1) w(tj))) =
ij
XX
= lim E (f(ti)(w((ti+1) w(ti)f(tj)(w(tj+1) w(tj))) =
ij
= lim |
i |
f(ti)2(ti+1 ti) = Z0T |
f2(t)dt: |
|
X |
|
|
Проверьте выкладку. Мы использовали равенство нулю среднего процесса w и независимость приращений w.
T
R
Замечание. Кажется, что при определении интеграла f(t)dw(t) мы можем использовать
0
то обстоятельство, что процесс w(t) можно рассматривать на каждом элементарном исходе ! отдельно как функцию w(t)(!), а интеграл также записать для каждого ! отдельно как
T
R f(t)w0(t)(!)dt. Увы, это невозможно. Винер показал, что можно считать функции t ! w(t)(!)
0
непрерывными для всех !, в то же время все эти функции являются недифференцируемыми ни при одном t (с вероятностью 1). Однако, используя такое разложение процесса по элемен-
|
T |
тарным исходам, мы вполне можем вводить интегралы вида |
f(t)w(t)dt. |
|
0 |
2. Интеграл Ито. |
R |
|
T |
|
R |
Наконец, самый сложный и нетривиальный случай стохастического интеграла (t)dw(t),
0
где (t) случайный процесс. Возможны разные варианты введения этого стохастического интеграла. Вообще говоря, неясно, какой из этих способов наилучшим образом соответствует практическим задачам. Наиболее употребительным является интеграл Ито.
В определении интеграла Ито
T
Z
(t)dw(t) |
(3) |
0
процесс (t) должен иметь важное свойство предсказуемости. А именно, значения процесса(t) должны определяться значениями процесса w(s) во все промежутки времени до t включительно, но не должны зависеть от приращений процесса w(s) в будущем, при s > t. Таким образом, процесс (t) появляется в результате действия помех w(t) в прошлом, а не в будущем.
t
R
Пример предсказуемого процесса (t) = w(s)ds.
0
Ито предложил определить интеграл
T
Z
(t)dw(t)
0
как предел интегральных сумм вида
n
X
(ti)(w(ti+1) w(ti));
i=0
где, как обычно, 0 = t0 < t1 < < tn 1 < tn = T разбиение отрезка [0; T ]. Но что произойдет, если мы рассмотрим другие интегральные суммы, например,
n
X
(ti+1)(w(ti+1) w(ti)):
i=0
197
Изменение незначительно, и в теории интеграла Римана показывается, что изменение аргумента подинтегральной функции в интервале разбиения не меняет предел. Оказывается, что в нашем случае случайной подинтегральной функции и случайного дифференциала предел изменится. Рассмотрим, например, интеграл
T
Z
w(t)dw(t):
0
Вычтем из интегральной суммы второго вида
n
X
w(ti+1)(w(ti+1 w(ti))
i=0
интегральную сумму Ито
n
X
w(ti)(w(ti+1 w(ti)):
i=0
Разность равна
n |
|
|
Xi |
w(ti))2 |
( ) |
(w(ti+1 |
||
=0 |
|
|
исходится, как мы уже доказали в пункте 29.4 (оценка параметров) не к 0, а к T .
3.Задача. Вычислить интеграл Ито
T
Z
w(t)dw(t):
0
Задача решается искусственным приемом. По видимому, соображением, позволяющим догадаться до этого приема, служит то обстоятельство, что в неслучайной ситуации интеграл дол-
жен был бы равняться
w2(T ) w2(0) =2:
Рассмотрим удвоенное значение этой величины и попробуем связать его с разбиением :
w2(T ) w2(0) = w2(tn) w2(t0) =
= w2(tn) w2(tn 1) + w2(tn 1) w2(tn 2) + w2(t2) w2(t1) + w2(t1) w2(t0) :
Каждое слагаемое w2(ti+1) w2(ti) в этой сумме можно представить в виде
2w(ti)[w(ti+1) w(ti)] + (w(ti+1 w(ti))2 :
Первое слагаемое в этом представлении входит в интегральную сумму Ито. Второе слагаемое входит в сумму (**), предел которой известен. Таким образом, мы получаем представление
n 1 |
n 1 |
|
X |
Xi |
w(ti))2 : |
w2(T ) = |
2w(ti)[w(ti+1) w(ti)] + (w(ti+1 |
|
i=0 |
=0 |
|
Устремляя диаметр разбиения к 0 и переходя к пределу, получаем
T
Z
w2(T ) = 2 w(t)dw(t) + T:
0
198
T
Z
w(t)dw(t) = w2(T ) T =2:
0
4. Существование интеграла Ито.
Теперь попытаемся объяснить – что такое интеграл Ито
T
Z
(t)dw(t)
0
и почему он существует для хороших подынтегральных процессов (t). Напомним, что процесс(t) предполагается зависящим от прошлого и настоящего процесса w. Кроме того, входящие в него случайные величины должны иметь дисперсию. Мы будем также считать процесс (t) непрерывным в среднем квадратическом. Интеграл Ито (как и любой другой интеграл) мы определяем как предел интегральных сумм
n
X
(ti)(w(ti+1) w(ti));
i=0
где 0 = t0 < t1 < < tn 1 < tn = T разбиение отрезка [0; T ]. Эта интегральная сумма на деле является интегралом кусочно-постоянного процесса
n 1
X
(t) = I[ti;ti+1)(t) (ti):
i=0
Сходимость интегралов мы будем понимать в среднем квадратическом. Поэтому имеет смысл считать среднее и дисперсию интегральных сумм. Так как приращения процесса w не зависят от прошлого процесса w, они не зависят и от прошлого процесса (t). Поэтому
E |
( n |
(ti)(w(ti+1) w(ti))) = |
n |
E (ti)E(w(ti+1) w(ti)) = |
n |
E (ti) 0 = 0: |
||
|
Xi |
|
X |
|
|
|
X |
|
|
=0 |
|
i=0 |
|
|
|
i=0 |
|
Дисперсия считается сложнее. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
D ( n (ti)(w(ti+1) w(ti))) = E |
( n |
(ti)(w(ti+1) w(ti)))2 = |
||||
|
|
X |
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
=0 |
|
|
|
nn
XX
=E [ (ti)(w(ti+1) w(ti)) (tj)(w(tj+1) w(tj))] :
i=0 j=0
А двойная сумма разбивается на слагаемые двух видов: i = j и i 6= j. Если i = j, то ввиду независимости приращений от прошлого
E 2(ti)(w(ti+1) w(ti))2 = E 2(ti) E (w(ti+1) w(ti))2 = = E 2(ti) (ti+1 ti):
Пусть i 6= j, для определенности мы будем считать, что i < j. Ввиду независимости приращений от прошлого имеем
Ef( (ti)(w(ti+1) w(ti))( (tj)(w(tj+1) w(tj))g =
=E f[( (ti)(w(ti+1) w(ti)) (tj)] (w(tj+1) w(tj))g =
199
= E [( (ti)(w(ti+1) w(ti)) (tj)] E [w(tj+1) w(tj)] = = E [( (ti)(w(ti+1) w(ti)) (tj)] 0 = 0:
Окончательно мы получаем, что
D |
( n |
(ti)(w(ti+1) w(ti))) = |
n |
E 2 |
(ti) (ti+1 ti): |
|
Xi |
|
X |
|
|
|
=0 |
|
i=0 |
|
|
Эта сумма очень похожа на интегральную сумму, но от какого интеграла? Этот интеграл легко записывается, и мы получаем более приятную формулу:
89
TT
ZZ
<=
D (t)dw(t) = E[ (t)]2dt:
:;
00
Из этой формулы, которая верна и для интегральных сумм, то есть для интегралов от кусочнопостоянных процессов (t), выводится и сходимость интегральных сумм к интегралу в случае, например, непрерывного процесса (t), причем непрерывность мы понимаем в среднем квад-
ратическом, то есть
tn ! t ) E [ (tn) (t)]2 ! 0:
Действительно, тогда по знаменитой теореме Кантора (функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна) случайный процесс (t) равномерно непрерывен в среднем квадратическом, то есть по любому " > 0 существует > 0 такое, что
jt sj < ) E [ (t) (s)]2 < ":
Используя это и выбирая разбиение
: 0 = t0 < t1 < < tn 1 < tn = T
диаметра меньше , мы построим интегральную сумму
n
X
(ti)(w(ti+1) w(ti)):
i=0
Запишем эту сумму как интеграл от кусочно постоянной функции
n 1
X
(t) = I[ti;ti+1)(t) (ti):
i=0
~
Рассмотрим также другое разбиение с такой же оценкой для диаметра. Тогда мы имеем
E [ (t) (t)]2 < ";
E [ ~ (t) (t)]2 < ":
Отсюда по тривиальному неравенству
(x y)2 2(x z)2 + 2(y z)2
мы имеем
E [ (t) ~ (t)]2 < 4";
2 T |
T |
32 |
ZZ
E 4 (t)dw(t) ~ (t)dw(t)5 =
00
200