Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Savchuk_14.doc
Скачиваний:
17
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
1.61 Mб
Скачать

Розділ 1. Термоелементи нернста-еттінгсгаузена.

а. Найпростіша модель термоелемента Нернста-Еттінгсгаузена

В [2] розглянуто модель термоелемента Нернста-Еттінгсгаузена. В найпростішому випадку термоелемент складається із одного чи двох брусків на яких підтримується стаціонарна різниця температур. Грані з температурами Т1та Т2ізотермічні, а на інших гранях можуть бути різні граничні теплові умови, в залежності від режиму роботи, магнітне поле однорідне (рис. 1).

Рис.1. Схема прямокутного термоелемента Нернста-Еттінгсгаузена [5].

б. Рулоний термоелемент Нернста-Еттінгсгаузена

Схема термоелемента наведена на рис. 2. Термоелемент виконаний у вигляді спирали рулонного типу. Вітки спіралі електрично ізольовані один від одного, але їх прилеглі поверхні перебувають у хорошому тепловому контакті.

Рис. 2. Схема рулоного термоелемента Нернста-Еттінгсгаузена

в. Спіральний термоелементів Нернста-Еттінгсгаузена

В термоелементів використано однорідний ізотропний матеріал. Можливо також використання анізотропного матеріалу. Схема термоелемента наведена на рис. 3.

Рис. 3. Схема спіральний термоелемента Нернста-Еттінгсгаузена [5].

г. Термоелемент Нернста-Еттінгсгаузена оптимальної форми

Ефективність термоелемента може бути поліпшена при врахуванні змін властивостей матеріала термоелемента зі зміною температури. Оскільки різні частини термоелемента знаходяться при різних температурах, матеріал становиться неоднорідним, тому в термоелементі можуть виникати короткозамкнені вихрові струми, які знижують ефективність термоелемента. З метою усунення цього негативного фактора використовують термоелемент не прямокутної форми, який представлено на рис. 4.

Рис.4. Схема багатокаскадного термоелемента Нернста-Еттінгсгаузена [5]

Розділ 2. Фізика генераторних гіротропних термоелементів Загальна формула для коефіцієнта корисної дії (ккд) генератора термоЕрс

Для вивода загальної формули ККД генератора не потрібно знати його конкретну будову, а необхідно тільки розглянути баланси енергії і ентропії при роботі генератора. На рис. 6 будова генераторів символічно зображено прямокутником (– тепло, що поглинається,– тепло, що віддається ,– зовнішня нормаль до поверхні генератора,– густина потоку тепла, що перетинає поверхню генератора). В подальшому окремих видів генераторів будемо конкретизувати їх будову.

Рис. 5

Згідно першого принципу термодинаміки робота, що виконана генератором, дорівнює

,, (3.1.1)

Звичайно під генератором розуміють періодично діючу машину і тоді, оскільки у кожному циклі робоча речовина машини приходить у вихідний стан є зовнішня робота.

ККД генератора по означенню є

. (3.1.2)

Перетворимо цей вираз до іншого вигляду, використовуючи другий принцип термодинаміки

. (3.1.3)

В стаціонарному стані генератора

, . (3.1.4)

Проінтегруємо (3.1.4) по об’єму генератора і введемо цьому позначення

. (3.1.5)

Тоді

. (3.1.6)

Перетворимо об’ємний інтеграл в (3.1.6) у поверхневий, використовуючи вираз для густини потоку ентропії [3]

, (3.1.7)

тоді

. (3.1.8)

Розіб’ємо поверхню інтегрування на чотири поверхні: дві бокові, верхні і нижню. Так як бокові поверхні адіабатично ізольовані, то дорівнює нулю на цих поверхнях. Температуриіна верхній та нижній гранях постійні, тому їх виносимо із під інтегралів і отримаємо

. (3.1.9)

Інтеграл – тепло, що проходить через відповідну поверхню. Оскільки на верхній поверхні, а на нижній, тому (3.1.9) приймає вигляд

. (3.1.10)

Із (3.1.1) слідує, що

, (3.1.11)

і значить, що

. (3.1.12)

Звідси находимо

. (3.1.13)

тобто

. (3.1.14)

Вираз

. (3.1.15)

Тут – ККД циклу Карно, тому

. (3.1.16)

Підставляючи (3.1.16) в (3.1.2), отримаємо

. (3.1.17)

З (3.1.5) слідує, що пов’язано з незворотними процесами у генераторі. Якщо би таких процесів не було, тодідорівнювало б нулю, і ККД генератора дорівнювало ККД циклу Карно. В реальних генераторах незворотні процеси існують і томуі отож.

Позначимо через додатну величинугенератора

. (3.1.18)

Тоді ККД генератора набуває вигляду

. (3.1.19)

Задача знаходження зводиться в основному до знаходження. Формула (3.1.10) дає зручний вираз для розрахунку, для чого необхідно знайтиі. Запишемо густину потоку тепла у вигляді

. (3.1.20)

Тоді івизначаються як

. (3.1.21)

. (3.1.22)

де – площа поперечного перерізу генератора, що перпендикулярна до потоку, Знаходимо

, (3.1.23)

. (3.1.24)

У подальшому розрахунок зводиться до розрахунку розподілу температури у генераторі.

Поперечний термомагнітний генератор

Процедура знаходження ККД термомагнітного генератора рис. 6 така: спочатку за все необхідно знати розподіл температури у гиротропній пластині, по якій протікає електричний струм .

Рис. 6

Ця задача розв’язана у [1], тому можна зразу приступити до розрахунку .

. (3.2.1)

(під ,,розуміємо лінійні розміри вздовж відповідних осей..

. (3.2.2)

, (3.2.3)

під ,,, у (3.2.3) знехтуємо двома доданками, що містятьііз-за малості останніх. Підставимо (3.2.2) і (3.2.3) у (3.2.1)

. (3.2.4)

де

. (3.2.5)

Підставимо (3.2.4) вираз для з (3.2.3), вираз дляз (3.2.4), а також,,, де– внутрішній опір генератора

. (3.2.6)

Порівняння виразів (3.2.6) і (3.2.5) вказує на те, що магнітне поле вносить вклад у незворотні процеси, тобто у швидкість виробництва ентропії . Цей вклад визначається третім доданком (3.2.6).

Визначимо тепер зовнішню роботу

, (3.2.7)

де , (3.2.8)

Електрорушійну силу можна поставити рівною різниці потенціалів (рис.6) або, якщо падінням напруги у проводах знехтувати, різниці потенціалів, тобто

. (3.2.9)

Напруженість електричного поля всередині термомагнітного генератора визначається виразом

, (3.2.10)

Причому .

Якщо покласти , тоді, з іншого боку,

значить . (3.2.11)

Проінтегруємо останню рівність по довжині пластинки

, (3.2.12)

тоді отримаємо

. (3.2.13)

Порівнюючи (3.2.13) і (3.2.9), знаходимо

. (3.2.14)

Електричний струм і робота отримуються такими

, (3.2.16)

, (3.2.17)

або вводячи позначення , (3.2.17) запишемо у вигляді

, (3.2.18)

Для знаходження ККД генератора остається розрахувати , використовуючи (3.2.6), (3.2.7) і (3.2.16), (3.2.17), отримаємо

. (3.2.19)

Введемо термоелектричну добротність термомагнітного генератора

. (3.2.20)

Тоді

. (3.2.21)

Знайдемо оптимальне значення , при якомустає мінімальним

, (3.2.22)

звідси

. (3.2.23)

Мінімальне отримується таким

. (3.2.24)

Отож

. (3.2.25)

Повздовжній термомагнітний генератор

Повздовжній термомагнітний генератор – це термопара, що поміщена у магнітне поле. Відмітимо, що ККД має таку ж формулу, як і ККД термопари [3]

, (3.3.1)

. (3.3.2)

Відмінність у ККД повздовжнього та поперечного термомагнітного генератора очевидно з нижче приведеного графіка рис.7.

Рис.7.

В поперечному генераторі завжди , що випливає з (3.2.23), а у повздовжньому може бути більше одиниці, що слідує з (3.3.2). Ця відмінність у поведінці впливає на поведінку . У поперечному генераторі при, тобто , а у повздовжньому зменшується повільно зі зростанням.

Параметри термоелемента Нернста-Еттінгсгаузена

В [2] розглянуто модель термоелемента Нернста-Еттінгсгаузена. В найпростішому випадку термоелемент складається із одного чи двох брусків на яких підтримується стаціонарна різниця температур. Грані з температурами Т1 та Т2 ізотермічні, а на інших гранях можуть бути різні граничні теплові умови, в залежності від режиму роботи. Магнітне поле однорідне. Нехтується явищами на контактах брусків з провідниками струму, температурними залежностями матеріалів бруска, а також термоЕРС викликаною ефектом Риги-Леддюка, оскільки її значення складає близько 3.5% ЕРС Нернста-Еттінгсгаузена. ККД термоелемента

, (3.5.1)

де – електрична потужність, що виділяється в зовнішньому навантаженні, а– теплова потужність, що підводиться до термоелементу. Тепловий баланс на гарячій грані описується рівнянням

, (3.5.2)

де – тепло, що переноситься термоелементом за рахунок теплопровідності

–тепло, що передається термоелементу за рахунок ефекту Еттінгсгаузена,

–тепло Джоуля, яке рівне половині тепла, що виділяється в термоелементі за рахунок протікання електричного струму .

Ці теплоти визначаються такими співвідношеннями:

(3.5.3)

де ,– коефіцієнти теплопровідності матеріалів брусків,,– їх питомі опори.

,

(3.5.4)

– перепади температури на брусках, викликані ефектом Еттінгсгаузена.

, – коефіцієнти Еттінгсгаузена,– магнітна індукція. Між постійними Враховуючи зв’язок між постійними Нернста-Еттінгсгаузена та Еттінгсгаузена

. (3.5.5)

ЕРС термоелемента

. (3.5.6)

Потужність, що виділяється на зовнішньому навантаженні

. (3.5.7)

Із (3.5.1) коефіцієнт корисної дії

, (3.5.8)

де ,– ККД циклу Карно. При однаковій довжині брусківККД досягає максимуму коли відношення між шириною першого і другого брусків задовольняє умові

. (3.5.9)

Значення добротності для термоелементів Нернста-Еттінгсгаузена залежить від властивостей матеріалу та значення напруженості магнітного поля.

, (3.5.10)

Якщо матеріали брусків виготовлені з однакового матеріалу і володіють однаковими властивостями, то

. (3.5.11)

Максимальний ККД досягається при однакових властивостях матеріалів:

, ,. (3.5.12)

В [2] приводиться оптимізація не лише по геометричних розмірах та властивостях матеріалу, але також і по відношенню між внутрішнім опором та зовнішнім навантаженням термоелемента

, (3.5.13)

де . Із врахуванням добротності (3.5.10)

. (3.5.14)

Максимальна потужність досягається при

. (3.5.15)

Для цього випадку струм і потужність складають

, . (3.5.16)

Потужність, що знімається з одиниці площі поперечного перетину термоелемента

. (3.5.17)

Максимальна потужність, що припадає на одиницю площі досягається при

. (3.5.18)

Звичайно не відрізняється відне більше ніж на 0,1%. Розрахунок ККД найчастіше проводиться для двох режимів роботи термоелемента – ізотермічного, який відповідає умові, і адіабатичного, при якому припускається відсутність потоків тепла вздовж.

В роботі [2] досліджується також випадок врахування температурних залежностей властивостей матеріалу. Для термоелемента із матеріалу, електропровідність якого , теплопровідністьі постійна Нернста-Еттінгсгаузеназалежать від температури (,,‑ неперервні і обмежені функції з неперервними і кінцевими першими похідними) для досягнення максимального ККД оптимізується поперечний перетин в напрямку перпендикулярному тепловому потокові. У випадку, коли, задача оптимізації спрощується і полягає у визначенні зміни ширини термоелемента. Розв’язок шукається при використанні моделі, у якій термоелемент розбивається на ряд паралельних шарів таким чином, що в межах кожного шару властивості матеріалу можна було прийняти незалежними від температури. Вважається, що струм в кожному шарі протікає паралельно границі розподілу і різниці потенціалів на кінцях всіх шарів однакові. Для кожного шару проводиться оптимізація по умові узгодження з зовнішнім навантаженням шляхом зміни. Вираз для оптимального потоку енергії при цьому має вигляд

, (3.5.19)

де – потік тепла через грань з температурою,

, , (3.5.20)

–індукція магнітного поля, не залежна від координат. Оптимальна зміна геометричних розмірів визначається із інтегрального рівняння

(3.5.21)

Для знаходження як функції віднеобхідно використати рівняння

. (3.5.22)

Із приведених виразів отримуємо

. (3.5.23)

Розв’язки (3.5.20), (3.5.21) при відомих залежностях ,,знаходяться числовими методами.

Оптимальне зовнішнє навантаження визначається із виразу

. (3.5.24)

Для малих значень іможна спростити

, (3.5.25)

. (3.5.26)

Встановлено, що незначні відхилення від оптимальної форми термоелемента не приводять до суттєвої зміни ККД.

Основні параметри спірального гіротропного термоелемента

Знайдемо ККД однорідного гіротропного термоелемента, із врахуванням впливу ефекти Джоуля та Нернста-Еттінгсгаузена.

Рівняння теплопровідності в декартовій системі координат буде мати вигляд

. (3.22)

Перейдемо до полярної системи координат

, (3.23)

де – опір кільця,– коефіцієнт теплопровідності.

На зовнішній та внутрішній границях термоелемента підтримується постійна температура

,. (3.24)

Вважаємо, що густина струму в кільці має тільки азимутальну компоненту, тобто . Тоді (3.31) спроститься до виразу

. (3.25)

В полярній системі координат азимутальна складова густини струму має вигляд

. (3.26)

В нашому випадку відсутні зовнішні джерела електричного струму, розподіл температури має тільки радіальну складову, і враховується лише асиметрична компонента тензора термоЕРС, то в рівнянні (3.26) ,,. Тоді отримаємо значення густини струму

. (3.27)

Підставимо вираз (3.27) в (3.25)

. (3.28)

Добротність матеріалу визначається виразом

. (3.29)

Т

Рис. 8. Розподіл температури в однорідному гіротропному термоелементі.

, ,.

оді перепишемо (3.28)

. (3.30)

Розв’язок (3.30) із граничними умовами (3.24)

(3.31)

Знайдемо далі інтегральний струм в термоелементі

. (3.32)

Градієнт температури знаходимо із виразу (3.31)

. (3.33)

Підставляючи (3.33) в (3.32) знаходимо

. (3.34)

Знайдемо електрорушійну силу термоелемента

. (3.35)

Струм в кільці при включенні зовнішнього навантаження

, (3.36)

де –зовнішнє навантаження на термоелемент.

Різниця потенціалів на зовнішньому навантаженні термоелемента

. (3.36)

Потужність термоелемента

. (3.38)

Для розрахунку ККД нагрівника знайдемо затрачену кількість теплоти на нагрівання бічної поверхні термоелемента. Для знаходження потоку тепла використаємо вираз [14]

.

Враховуючи, що в гіротропному середовищі і, отримаємо

(3.39)

Підставляючи (3.39) у формулу і перевівши отриманий вираз в полярну систему координат із врахуванням виразів (3.27) та (3.33) отримаємо

. (3.40)

Оскільки ,, то (3.40) спроститься

. (3.41)

Кількість тепла, що затрачається на нагрівання бічної поверхні визначається по формулі

. (3.42)

Підставляючи (3.41) в (3.42) знаходимо витрати тепла на зовнішній поверхні термоелемента.

. (3.43)

Визначимо ККД термоелемента як :

Рис. 9. Залежність ККД термоелемента від напруженості магнітного поля .

або

(3.44)

Як видно із рис. 3.7 ККД термоелемента параболічно зростає при збільшенні величини напруженості магнітного поля .

Порівняння (3.44) та (3.19) показують, що наближений і точний ККД відрізняються на 0,2%.

На рис. 10 показаний виток гіротропного спірального термоелемента в вигляді кільця із внутрішнім і зовнішнім радіусами ,[10]. Магнітне поле направлене перпендикулярно до площини кільця. Вздовж одного із радіусів виток має розріз, на обидві сторони якого накладені провідні контакти для з’єднання із зовнішнім навантаженням R.

Рис. 10. Виток гіротропного спірального термоелемента [10].

Внутрішній контур підтримується при температурі , зовнішній при температурі, а радіальна компонента густини струмуна цих контурах рівна нулю, оскільки ці контури електроізольовані.

. (3.59)

При зовнішньому навантаженні, узгодженому з внутрішнім опором витка, граничні умови для потенціалу на контактах мають вигляд

. (3.60)

Струм у колі при зовнішньому навантаженні

. (3.61)

Струм у колі при оптимізованому зовнішньому навантаженні

. (3.62)

Спад напруги на зовнішньому навантаженні

. (3.63)

Спад напруги на оптимізованому зовнішньому навантаженні

. (3.64)

Електрична потужність, що виділяється в кільці

. (3.65)

Електрична потужність, що виділяється в кільці оптимізованому по зовнішньому навантаженню

. (3.66)

Тепло Джоуля, яке виділяється в кільці

. (3.67)

Витрати тепла на нагрівання бокової поверхні кільця

. (3.68)

Витрати тепла в кільці на внутрішній поверхні

. (3.69)

ККД термоелемента

. (3.70)

Формулу (3.70) можна використовувати для розрахунку ККД спірального гіротропного термоелемента.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]