745 / Л.Р.№1 / Лабораторна робота #1

6

Лабораторна робота № 1

ПЕРЕВЕДЕННЯ ЦІЛИХ ЧИСЕЛ З ОДНІЄЇ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ В ІНШУ

Мета роботи: Ознайомитися зі структурою машинних форматів представлення даних цілочисельного типу та принципами перетворення даних різних форматів.

Теоретичні відомості.

Число в однорідних системах може бути представлено поліномом виду

(1.1)

або , причому , а знаменник геометричної прогресії р називається основою системи числення. Очевидно, що основою однорідної позиційної системи може бути будь-яке ціле число, оскільки не накладено ніяких обмежень на величину основи. Однорідність системи числення означає, що у всіх розрядах числа, записаного в такій системі, використовують цифри з одної і тієї ж множини. Наприклад, у звичайній десятковій системі числення у всіх розрядах числа використовують цифри з множини 0,1,....,9, у двійковій системі - цифри з множини 0,1, в шістнадцятковій 0, ..., 9, A, B, C, D, E, F і т.п.

У загальному випадку із підстановкою замість q будь-якого числа X може бути представлене у виді полінома від основи q:

Xq = a_nqⁿ + a _n-1q^n-1 +...+ a₁ q¹ + aoq^o+ a _-1q^-1, (1.2)

де в якості коефіцієнтів a_i можуть стояти будь-які з q цифр, використовуваних у даній системі числення. Співвідношення (1.2) називають розкладанням числа X по ступенях основи системи числення.

Нижче приведена таблиця відповідності між першими 17 позитивними цілими числами для найбільш розповсюджених в обчислювальній техніці систем числення: 10-ої, 2-ий, 8-ий і 16-ий.

Нехай задано число А в довільній системі числення з основою l і його необхідно перевести в нову систему з основою р, тобто перетворити до виду

(1.3)

де а_і =0÷(р-1) - база нової системи числення.

Вираз (1.3) можна записати у вигляді А = А₁р + а₀ , де - ціла частина частки; а₀ - остача від ділення А на р, яка є цифрою молодшого розряду шуканого числа, записаною у символах старої системи числення.

Таблица 1.1

10-ая	2-ая	8-ая	16-ая
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000	0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

При діленні числа А₁ на р тим же способом отримаємо остачу а₁ і т.д. Іншими словами, вираз (1.3) записується по схемі Горнера:

, (1.4)

після чого його права частина послідовно ділиться на основу нової системи р.

Таким чином, в результаті серії ділень даного числа на основу нової системи числення р знаходимо коефіцієнти

А = А₁р + а₀;

А₁ = А₂р + а₁;

. . . . . . . . . . . .

А_n-1 = А_nр + а_n-1;

А_n = 0р + а_n;

При цьому ділення продовжується до тих пір, поки не будуть виконані співвідношення: А_n < p; A_n+1 =0.

Розглянемо правила переведення цілих чисел з однієї системи числення в іншу.

Для переведення цілого числа X₁₀ з системи числення з основою р=10 в систему числення з основою q використовується правило ділення:

1. Число X₁₀ ділиться на нову основу q, представлене в десятковій системі числення.

2. Отримана від ділення перша остача є кількісним еквівалентом молодшї цифри числа з основою q.

3. Частка від ділення знову ділиться на основу q. В результаті одержується нова остача, кількісний еквівалент якої дорівнює наступній цифрі числа з основою q.

4. Ділення відбувається доти, доки не отримається частка менша за дільник. Остання частка дасть кількісний еквівалент старшої цифри числа з основою q.

5. Після завершення ділення перевести кількісні еквіваленти у цифри в q-тій системі числення і записати їх зправа наліво у зворотньому порядку щодо їх одержання.

Приклад 1.

Число 35₁₀ перевести в двійкову систему числення.

Переведення здійснюється за правилом ділення:

В результаті отримаємо: 35₁₀=100001₂.

Приклад 2.

Число 236₁₀ перевести в 16-річну систему числення.

Переведення здійснюється за правилом ділення:

Для переведення довільного числа X_q з системи числення з основою q відмінним від 10 в десяткову систему числення краще користуватися розкладом числа за стпенем основи q (1.2) і виконати дії в 10-ій системі.

Для переведення чисел з системи числення з основою p10 в систему з основою q10 можна скористуватися наступною схемою:

Xp Z₁₀Yq. (1.5)

Ділення виконувати в двійковій системі числення важко. Тому на практиці при необхідності переведення чисел із системи з малою основою в систему з великою основою зручно користуватись загальним записом чисел у вигляді полінома. В загальному випадку можна обчислити многочлен

А = a_ml^m + ... + a₁l +a₀ (1.6)

у вигляді

, (1.7)

представивши в системі з основою р а_і і l та виконавши всі дії по правилам арифметики основи р. Наприклад, при переведенні двійкових чисел в десяткову систему числення на практиці підраховують суму степенів основи 2, при яких коефіцієнти а_і дорівнюють одиниці. Розрахунки ведуться при цьому в десятковій системі числення.

Завдання на виконання лабораторної роботи.

1. Обрати свій номер варіанта згідно з останньою цифрою у номері залікової книжки (цифра „0” відповідає десятому варіантові).

2. Створити блок-схему алгоритму програми переведення чисел з однієї системи числення в іншу згідно заданого варіанту.

3. Оформити звіт та подати його викладачу разом з результатами виконання роботи.

Варіанти для виконання лабораторної роботи.

1. 2  10

2. 2 16

3. 2  8

4. 8  2

5. 16 2

6. 10  2

7. 16  8

8. 16 10

9. 8  10

10. 8  16

Зауваження: Звіт повинен містити титульну сторінки відповідно до зразка (див. додаток), мету, завдання роботи, варіант завдання, хід роботи та висновки.

Контрольні запитання:

1. Яка система числення називається однорідною?

2. Яка відмінність між цифрою і числом?

3. Що означає розклад числа за ступенями основи системи числення?

4. В чому полягає схема Горнера?

5. Сформулюйте правила переведення чисел з однієї системи числення в іншу.

6. Які в мові програмування PASCAL існують оператори для здійснення арифметичних операцій ділення та отримання остачі від ділення?

7. Які існують особливості при перетворенні форматів цілочислових даних?

Додаток 1 (Зразок титульної сторінки)

Міністерство освіти та науки України

Черкаський національний університет ім. Б. Хмельницького

Факультет інформаційних технологій та біомедичної кібернетики

Звіт про виконання лабораторної роботи № ___

з дисципліни

“ВСТУП ДО КОМПЮТЕРНИХ НАУК”

Перевірив роботу: Виконав(ла) роботу:

студент(ка) групи ______

___________________ ______________________

Черкаси, 20__