§ 5. Рассеивание загрязняющих веществ в атмосфере

Сейчас рассматривается этот вопрос в соответствии с двумя основными методами описания турбулентной диффузии – методами Эйлера и Лагранжа. Метод Лагранжа применяется, когда известна плотность вероятности для координат частицы, а метод Эйлера – когда заданы коэффициенты обмена.

1. Метод Лагранжа описания турбулентной диффузии

Примем в качестве лагранжевой характеристики потока функцию , задающую для любого времениt координатывсевозможных физически бесконечно малых частиц, идентифицируемых по значениям параметра

Тогда вероятностное среднее значение концентрации (осреднённая концентрация) в общем случае однородной стационарной турбулентности при совмещении осей координат с главными направлениями тензора дисперсии координат частицы в потоке с постоянной средней скоростью v, направленной вдоль осиОХ, и при отсутствии примеси в начальный момент времени равно:

где

обозначает плотность нормального распределения случайной величины Xс математическим ожиданием и дисперсией²(); указывает на зависимость величиныХот времени.

Ниже приведём ряд решений уравнения (5.1).

1. Мгновенный источник выбрасывает инертную примесь в количестве S, ед. примеси, в моментt=t₁в точке (x₁,x₂,x₃) неограниченного потока, имеющего среднюю скоростьvв направлении осиОХ₁.

Используя дельта-функцию, найдём

(5.2)

Интегрируя (5.1) при t₁=0, получим

(5.3)

где

2. Стационарный непрерывный источник производительностью S^Pдействует в точке (x₁,x₂,x₃) неограниченной атмосферы.

Пренебрегая турбулентной диффузией, из (5.3) при найдём

Здесь ₂и₃– функции расстоянияX₁-x₁.

3. Во многих задачах по атмосферной диффузии принимается во внимание непроницаемая поверхность при Х₃= 0. В этом случае считают, что отложение примеси на ней отсутствует. Для этого полагают, что в точке (x₁,x₂,x₃) действует идентичный источник, вклад которого эквивалентен отражению примеси от поверхности.

Решение (5.1) с учётом (5.2) при t₁= 0 в данном случае имеет вид:

(5.5)

4. Стационарный непрерывный источник производительностью S^Pдействует в точке (x₁,x₂,x₃). Средняя скорость, гдеповерхность отражения – земля.

Аналогично (5.4) из (5.5) найдём

(5.6)

где ₂и₃– функции расстоянияX₁-x₁.

5. Линейный источник расположен на прямой, параллельной оси OX₂. Примесь от источника вносится в неограниченный поток, средняя скорость которого в направлении осиОХ_!равнаv. Количество примеси, выделяемое источником на единичном отрезке, параллельномОХ₂, принимается независим отХ₂.

В случае непрерывного стационарного источника, пренебрегая турбулентной диффузией в направлении средней скорости, (5.1) получим

(5.7)

где

6. Рассмотрим применение нормального закона распределения для оценки концентрации примеси от непрерывного точечного источника в направлении средней скорости ветра (рис. 5.1).

Распределение концентрации в любой точке Х, получающееся от действия непрерывного источника производительностиS^P, находим из формулы (5.6)

(5.8)

Здесь Н– эффективная высота, т.е. высота, на которой выброс становится практически горизонтальным.

Максимальная концентрация c_maxна поверхности земли (Х₃= 0) достигается на оси струи (Х₂= 0) на расстоянииX₁=X_1maxот источника, т.е.

(5.9)

На рис. 5.2 дана связь координаты X_1maxс соотношениемдля разных классов устойчивости.

7. Линейный источник расположен перпендикулярно движению ветра. Его можно рассматривать как бесконечное число точечных источников на линии. Средняя концентрация от элемента длиной dX₂, имеющего производительностьдаётся выражением (5.4). Интегрируя поХ₂от -до +, находим

(5.10)

где т.е. зависит от расстоянияX₁-x₁.

В приведенные выше расчетные соотношения входят дисперсии _i², которые необходимо знать, прежде чем проводить расчеты. На основании экспериментальных исследований предложен ряд эмпирических корреляций. На рис. 5.3 и 5.4 , [32] приведены соответственно горизонтальные₂и вертикальные₁стандартные отклонения в зависимости от расстоянияХ₁от непрерывного источника в направлении движения ветра при 10-минутном времени осреднения. Кривые соответствуют шести классам, характеризующим устойчивость атмосферы (табл. 5.1).

В табл. 5.1 классы устойчивости означают:

А – чрезвычайно неустойчивые условия; В – умеренно неустойчивые; С – слегка неустойчивые; D– нейтральные; Е – слегка устойчивые;F– умеренно устойчивые.

*) Степень облачности определена как доля небосвода выше местного кажущегося горизонта, покрытая облаками. При сплошной облачности днем или ночью принимается класс Dустойчивости.

2. Метод Эйлера описания турбулентной диффузии.

Если расположить координатные оси таким образом, чтобы они совпадали с главными направлениями тензора К, представляющим собой коэффициенты обмена, то для случая турбулентного движения со средней скоростью, всюду направленной вдоль осиОХ₂ , уравнение для концентрацииимеет вид [15]

(5.11)

Когда скорость и коэффициенты турбулентности диффузии постоянные, т.е.

(нет суммирования), то ряд решений уравнения

(5.12)

представлен в табл. 5.2. Лучшее совпадение теоретических и экспериментальных результатов можно получить, считая в уравнении (5.11) коэффициенты диффузии и скорость зависящими от координаты Х₃. Однако, при этом возникают трудности в нахождении аналитического решения. Тем не менее, некоторые решения можно получить, упростив (5.11). В частности, поле средней концентрации по течению потока от стационарного линейного источника производительностьюS^lи расположенного на высотеhперпендикулярно направлению средней скорости, описывается уравнением

(5.13)

при условиях

Здесь принято, что диффузия в направлении оси ОХ₁пренебрежимо мала по сравнению с конвективным переносом.

Положим, что изменение скорости ветра с высотой подчиняется закону

(5.14)

а коэффициент К_З зависит от координатыХ₃

(5.15)

Тогда для наземного источника решение уравнения имеет вид:

(5.16)

где – гамма-функция [1];m-n+2 > 0.

Более общее решение того же уравнения, отвечающее источнику на произвольной высоте hимеет вид:

(5.17)

Здесь I_– модифицированная функция Бесселя [1] порядка(1-n)/(m-n+ 2).

Измерение скорости ветра по высоте можно определить соотношением

(5.18)

–средняя скорость ветра в направлении оси ОХ₁на высотеhвнутри планетарного пограничного слоя. Экспериментальная оценка показателя (представлена в табл. 5.3).

Для нейтральной стратификации можно принимать

(5.19)

где – динамическая скорость [5].

Пример. В атмосферу выбрасывается 4800 г/сSO₂. Эффективная высота выброса 250 м. Скорость ветра 3 м/с на высоте 10 м. Условия – сплошной облачный покров.

Требуется найти максимальную концентрацию у поверхности земли на расстоянии 10 км по направлению выброса; местонахождение и величину максимальной концентрации на поверхности земли; величину концентрации и место начального соприкосновения выброса с поверхностью земли; построить профили концентрации: а) вдоль горизонтальной оси струи на уровне поверхности земли; 6) перпендикулярно скорости ветра на расстояния 5 км и 20 км по движению выброса; в) в зависимости от высоты на расстоянии 5 км и 20 км по движению выброса.

Решение.

1. Выберем начало координат, как показано на рис. 5.1.

2. Определим скорость ветра на эффективной высоте Н= 250 м по формуле (5.18). Для условий города из табл. 5.3 находим= 0,4.

Тогда

3. Распределение концентрации даётся выражением (5.8), S^P= 4800 г/с. Максимальная концентрациясна расстоянииХ₁= 10 км на поверхности земли (Х_З= 0) будет вдоль оси струи (Х₂= 0) и определяется выражением (5.9), в котором₁и₂даны на рис.5.3, 5.4 для номинального времени= 600 с. ПриХ₁= 1010³м, что считаем близким ко времени усреднения.

По табл. 5.1 определим, что условия сильного облачного покрова относятся к классу Dустойчивости. Для классаDприХ₁=1010³ м из рис. 5.3 и 5.4 находим₂ = 550 м,

₂= 135 м. По формуле (5.9) определяем максимальную концентрацию на расстоянииХ₁

4. Расстояние X_1max, при которомс(Х₁,0,0) =c_max определим из рис. 5.2. При

Н= 250 м и классеDустойчивостиХ_Зmax = 1310³м, т.е. максимальная концентрация у поверхности в точке (X_1max= 1310³м,X₂= 0,X₃= 0). Чтобы определить величинуc_max, из рис. 5.2 найдёмОткуда

с (X_1max= 1310³м,X₂= 0,X₃= 0) =c_max=

Найденные значения проверяем по формуле (5.9). Из рис. 5.5 и 5.4 при X₁= 1310³м

₂ = 700 м,₃ = 160 м. Тогда

5. Чтобы найти место и величину концентрации начального со­прикосновения выброса с поверхностью земли, необходимо дать опре­деление термина "соприкосновение". Для этого термин "соприкосновение" используют, когда концентрация у поверхности при нормальном законе распределения составляет 10% от значения концентрации на оси струи.

Из выражения (5.4) следует» что концентрация па оси струи

Из этой же формулы

Отсюда

Из рис. 5.4 при₃ = 116 м находим X₁ = 7,8-10³, а из рис 5.3 при X₁ = 7,8-10³ м находим ₂ = 450 м. Следовательно, кон­центрация в точке "соприкосновение" с (X₁ = 7,8-10³, X₂ = 0, X₃ = 0) =

6. Чтобы построить приблизительный профиль концентрации вдоль горизонтальной оси, необходимо задать дополнительно несколь­ко значений координаты X₁. Данные расчета сводим в таблицу.

По данным таблицы построим график рис. 5.5.

7. Профиль концентрации, перпендику­лярный скорости ветра, рассчитывается по формуле (5.8). Данные сводим в таблицы. По результатам расчета построим графита рис. 5.6.

Рис. 5.6. Профили концентрации перпендикулярно скорости ветра

При X₁ = 2010³м;₂= 1000 м;₃ = 200 м; имеем:

8. Используя формулу (5.8), рассчитываем распределение концентрации при X₂ = 0 по высоте на расстояниях X₂ = 510³м и X₁ = 2010³м от источника. Результаты расчетов заносим в таблицу и по результатам построим график рис. 5.7.

Рис. 5.7. Профили концентрации по высоте

Пример: Четырехрядная автомобильная трасса расположена перпендикулярно превалирующему движению ветра. В опытный день поток машин в ряду в среднем составляет 30 автомобилей в минуту.

Каждый автомобиль выбрасывает 90 г/кг окиси углерода. Скорость ветра на расстоянии 10 м от поверхности земли равна 5 км/ч. Для нейтральных условий атмосферы определить двумя способами, используя решение уравнения турбулентности и на основе нормального закона распределения, расстояние, начиная с которого концентрация окиси углерода меньше, чем максимально разовая предельно допустимая концентрация в атмосферном воздухе населенных пунктов.

Построить график распределения концентрации у поверхности земли по направлению движения ветра. Принять, что для травяного

покрова динамическая скорость W_п= 0,7 км/ч.

Решение.

В рассматриваемом случае соответствующее решение уравнения турбулентной диффузии дано выражением (5.16), которое для концентрации на поверхности X₃ = 0 принимает вид:

Для нейтральных условий из соотношений (5.14), (5.15), (5.19) следует:

m= 1,7;n= 1.

K₁= 0,4W_п= 0,40,7(1000/3600)0,0778 м/с и (m-n+2)=8/7>0

Далее находимp=(m+1)/(m-n+2)=1; Г(1)=1 и, следовательно, выражение (5.20) упрощается:

Здесь S^l= 43090 = 10800 г/(кммин) = 180 мг/(мс).

По нормам [19] находим, сто максимально разовая предельно допустимая концентрация С_пдкдля СО равна 3 мг/м³. Следовательно,

т.е., начиная с расстояния больше чем 675 м, концентрация С(Х₁,0)< С_пдк .

Чтобы получить результат на основе нормального распределения, используем соответствующее выражение (5.7). Для источника на поверхности X₃= 0 равняется:

Откуда:

Из соотношения (5.19) находим скорость на поверхности:

Следовательно,

Из рис. 5.4 при ₃ = 23,9 м получимX₁= 690 м, что находится достаточно близко к полученному выше результату.

Выражения (5.20) и (5.22) справедливы в пренебрежении

орхзонтальной диффузией. Проверяем:

что близко ко времени, при котором получены значения ₃(см. рис. 5.4). График распределения концентрации (рис. 5.8) в зависимости от координатыX₁на расстояниях от источника доX₁= 1000 м построим по формуле (5.21).

Рис. 5.8. Концентрация в зависимости от расстоянияX₁.

Пример.Ежесуточно при нормальной эксплуатации установки в выбросную трубу поступают радиоактивные вещества в количестве 10 мКи. Возможен дополнительный аварийный выброс (два раза в год) радиоактивных веществ того же изотопа в количестве 210⁵мКи в каждом выбросе; причем продолжительность аварийного выброса составляет один час. Определить высоту трубы, если предельно допустимое поступление в год данных изотопов для лиц населения ПГП=1,4610^-3мКи/год. Принять скорость ветра на эффективной высоте выброса 2 м/с, объем воздуха, вдыхаемого человеком за один час, равен 8,810^-1м³, скорость воздуха в устье трубыW₀=8 м/с, диаметр трубыd=2,5 м.

Решение.

1. Максимальный расход изотопов при выбросе составит

2. Разовое поступление изотопов в организм человека не должно превышать половины допустимого годового поступления [17], т.е. за один час допускается поступление изотопов в количестве 1,4610^-30,5 мКи и, следовательно, допустимая концентрация

3. Высчитав, что

из рис. 5.2 находим для класса В устойчивости атмосферы эффективную высоту трубки Н = 68 м и расстояние, на котором достигается

максимальная концентрацияX_{1 max} = 500 м. Полученные результаты проверяем по формуле (5.9). Из рис. 5.3 и 5.4 приX₁ = 500 м находим₂ = 85 м,₃ = 55 м. Следовательно,

что практически совпадает со значением, определенным в п. 2.

4. Подъем выброса над трубой определим по формуле [13]

5. Высота трубы