123 / 36-42

36. Статически неопределимые системы. Особенности работы, методы расчета. Типы связей. Степень статической неопределимости.

Степень статической наопределимости:

Статически неопределимые системы – системы, в которых не все усилия могут быть найдены из уравнения равновесия, так как кол-во неизвестных превышает кол-во независимых уравнений статики.

Существуют связи абсолютно необходимые, усилия в них можно определить только из уравнения равновесия. В лишних связях усилия находятся из уравнения совместности деформаций. Различают внешнюю и внутреннюю статическую неопределимость. Если лишними являются опорные связи, то система внешне статически неопределима, а если связи самой системы, то внутренне.

n_с может быть найдена:

1). как разность количества неизвестных реакций связей и количества независимых уравнений равновесия: 4 реакции, 3 уравнения равновесия, n_с=4-3=1

2). Число степеней свободы с обратным знаком:

n_с = -W; n_с = -3Д+2Ш+Co – общая; n_с = 3К-Ш – для рамы

Свойства статически неопределимых систем:

1). статически неопределимые системы более жесткие чем аналогичные статически определимые. При одной и той же нагрузке перемещения и деформации, а следовательно и внутренние усилия в них меньше

2). статически неопределимые системы сохраняют геометрическую неизменяемость после удаления лишних связей, а в статически определимых системах потеря хотя бы одной связи ведет к геометрической изменяемости системы, следовательно к неспособности нести нагрузку.

3). изменение температуры и осадка опор, а также неточность изготавления и сборки вызывают в статически неопределимых системах появление дополнительных усилий. В статически определимых системах указанные векторы вызывают только перемещения, силы и сосенты не вызывают

37.Основная система, канонические уравнения метода сил, их смысл. Коэффициенты уравнение, их смысл и способы вычислений.

Основная система – это статически наопределимая и геометрич. определимая система, полученная отбрасыванием лишних связей и заменой их реакциями.

При образовании основной системы используют:

1.устранение опорных связей

2.введение шарниров в опорные узлы, а также в узлы и сечения самой конструкции

3.рассечение элементов

Количество отброшенных связей должно равняться n_с. Основными неизвестными метода сил являются реакции отброшенных связей, которые обозначаются Х₁, Х₂, …, Х_n.

n_с=3К-Ш

Каноническое уравнение – уравнение, записанное по определенному канону. В методе перемещений помогает найти неизвестные усилия Х₁, …, Х_n.

Заданная рама не допускает поворота опорного стержня у заделки и горизонтального перемещения в шарнире. Поэтому в эквивалентной ей основной системе перемещения также должны отсутствовать. По принципу суперпозиции представим в следующем виде:

Для линейно диф. системы любое перемещение можно представить в виде:

– перемещение по направлению усилия Х1 от действия единичного усилия, приложенного по направлению Х2.

- перемещение по направлению Х1 от действия внешней нагрузки.

Следовательно, получим систему канонических уравнений:

+=0

+=0 - система канонических уравнений с n_с=2

Каноническое уравнение для n-раз статич. неопред. сист.:

+=0

… - сист. лин. алгебраич. выраж.

+=0

В матричной форме:

АХ+=0 А – матрица

А= … - матрица податливости

Х1

Х= Х2 - вектор неизвестных усилий; - вектор груз. перемещ.

… …

Хn

ds+ds+ds

= ds + ds+ds

внутренние усилия в основной системе от единичного усилия, приложенного по направлению Xi.

Mp, Qp, Np – внутренние усилия системы от внешней нагрузки.

Для балок и рам, работающих на изгиб, учитываются только изгибающие моменты, если 1/h>8.

38. Порядок расчета рам методом сил.Способы построения эпюр М, Q, N.

Способы определения М, Q, N:

1.найденные из канонических уравнений усилия Х1, Х2, .., Хn прикладываются как дополнительная внешняя нагрузка к статически определимой основной системе. Далее эта система рассчитывается с помощью уравнений равновесия. Этот способ применяется в основном для простейших рам и балок.

+=0; Х1=1,39F

2.Основная система, эквивалентная заданной уже рассчитывалась на отдельные частные воздействия:

поэтому достаточно собрать результаты отдельных частных расчетов.

– внутренние усилия в основной системе от Хi=1.

Mp, Qp, Np – внутренние усилия в основной системе от внешней нагрузки.

Значения M, Q, N вычисленные по данным формулам часто называют окончательными усилиями основной системы.

Особенности вычисления Q и N в балках и рамах, работающих на изгиб:

В этих конструкциях перемещения и определялись с учетом только моментов, т.е. и Qp, Np в процессе расчета не определялись.

Для них эпюру Q по эпюре М, а N по Q.

Если эпюра М прямолинейна, то удобнее на основании дифференциальной зависимости Q=dM/dz находить Q как тангенс угла наклона эпюры М.

Если эпюра моментов не прямолинейна, то удобно вырезать участок, приложить к нему нагрузку, а в местах сечений неизвестные Q и известные M взять из эпюр и составить уравнение равновесия. Значение N находится из условия равновесия отдельных узлов или частей конструкции.

39. Проверки, используемые в процессе расчета рамы методом сил.

Если расчет был произведен с учетом только изгибающих моментов при определении перемещений, то эпюра М должна быть проерена до построения эпюр Q, N, M.

Статическая проверка эпюр М:

- как правило сходится и при неправильных эпюрах, т.к. каждая промежуточная эпюра уравновешена в узле.

Кинематическая проверка (деформационная):

- является необходимой и достаточной. Ее смысл – проверка отсутствия перемещений по направлению отброшенных связей.

;

dS;

- суммарная единичная эпюра.

Расчет заданной системы может производится с любой основной системой. Чтобы исключить ошибки на эпюре М эту проверку желательно производить на другом варианте основной системы, которую обозначают *.

В общем случае расчеты стержневой системы при определении перемещений учитываются все внутренние усилия. Следовательно они должны быть использованы и в деформационной проверке:

=0

– суммарные единичные эпюры в основной системе.

Дополнительно может быть выполнена статическая проверка равновесия конструкции с учетом всех внутренних усилий из окончательных эпюр.

40?. Определение перемещений в статически неопределимых системах

Как известно, чтобы найти по методу Мора перемещения, необходимо:

- определить внутренние усилия от заданной нагрузки

- по направлению искомого перемещения приложить единичный силовой фактор и найти усилия от него

- вычислить интеграл Мора

1).

2).

3). =0,333

Заметим, что пришлось произвести расчет данной рамы метод сил главной рамы 2 раза: на заданную нагрузку и на единичную силу. Вычисление перемещений можно значительно упростить на основе следующих положений:

Отбросим лишнюю связь и заменим ее силой Х1. При этом на раму действуют 2 внешние силы: Р и Х1. При формировании единичного состояния эти 2 силы отбрасываются как внешняя нагрузка и эпюра строится в статически определимой системе

Результат перемножения эпюр будет таким же. Заметим, что может быть выбрана любая статически определимая система, а не только та, которая была выбрана в качестве основной системы.

41-42.Расчет систем методом сил на температурное и кинематическое воздействие (осадка опор).

Канонические уравнения будут отличатся свободным членом, вместо (грузовое перемещение) будут вводить температурное перемещение или – перемещение от осадка опор.

- перемещения по направлению силы Xi, вызванное воздействием температуры или смещением опор.

Для плоской стержневой системы: ;

- коэффициент линейного расширения;

to – приращение температур на уровне ц.т. сечения ;

t1, t2 – приращение наружних волокон;

h – высота сечения

, - внутренние усилия в основной системе от =1.

Если система состоит из прям-х участков с постоянным сечением, то формулу для можно упростить, избавившись от интеграла: ;

- заданное смещение в основной системе;

- сила (реакция связей) в единичном состоянии (от =1), действующая в направлении смещения Ск.

Правило знаков: + - если направление сил в единичной части противоположно направлениям соответствующих смещений.

1). 2).

3). +=0

с +=0

4). вычисляется обычным образом перемножением эпюр и в основной системе.

5).перемещения от смещения опор:

– сила в i-м единичном состоянии, действующая в направлении смещения С1.

6). далее расчет ведется обычным образом. Заметим, что от температурного и кинематического воздействия не строятся эпюры, аналогичные Мр от заданных воздействий. Окончательная эпюра моментов получается по формуле: M=;

В некоторых случаях можно выбрать основную систему так, что бы сразу выразить перемещения через заданные смещения опор. Для рассмотренной задачи можно выбрать основную систему в виде:

- полное перемещение в направлении Х1;

- полное перемещение в направлении Х2;