Lab_2_Старые / №2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2.

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a; b], a < b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек xo = a, x1, x2, …, xn = b (xo < x1 < x2 < … xn) разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков

[xo, x1],[x1, x2], …, [xn-1, xn].

2. В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку

ci [xi-1,xi]

ивычислим значение функции в ней, т.е. величину f (ci).

3.Умножим найденное значение функции f (ci) на длину

∆xi = xi – xi-1

соответствующего частичного отрезка:

f(ci) ∆xi .

4.Составим сумму Sn всех таких произведений:

Sn = f (c1 )∆x1 + f (c2 )∆x2 +... + f (cn )∆xn = ∑n f (ci )∆xi

i=1

Такая сумма называется интегральной сумой функции y = f (x) на отрезке [a; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max∆xi

(i = 1,2,…,n).

5. найдем предел интегральной суммы, когда n → ∞ так, что λ → 0.

Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции y = f (x) на отрезке

b

[a; b] и обозначается ∫ f (x)dx . Таким образом,

a

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегри-

рования, f (x) – подынтегральной функцией, f (x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок [a,b] – областью (отрезком) ин-

тегрирования.

Функция y = f (x), для которой на отрезке [a,b] существует определенный инте-

b

грал ∫ f (x)dx , называется интегрируемой на этом отрезке.

a

Теорема. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то определенный

b

интеграл ∫ f (x)dx существует.

a

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости, однако определенный интеграл может существовать и для некоторых

1

разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

b

Пусть требуется найти определенный интеграл ∫ f (x)dx от непрерывной функции

a

f (x). Если можно найти первообразную F (x) функции f (x), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

b

∫ f (x)dx = F(b) −F(a) .

a

Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается че-

рез элементарные функции. В этих и других случаях (например, если функция задана графически или таблично) прибегают к приближенным формулам. С помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла – формулу прямоугольников, формулу трапеций, форму-

лу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в следующем: оп-

ределенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

Физический смысл определенного интеграла состоит в следующем. Работа пе-

JG

ременной силы F , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующей на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [a; b].

ФОРМУЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

Пусть на отрезке [a;b], a < b, задана непрерывная функция f (x). Требуется вычислить интеграл

b

∫ f (x)dx , численно равные пло-

a

щади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т.е. отрезок [a;b], на n равных частей (отрезков) длины

h = b −a = xi − xi−1 (шаг разбиения) (шаг разбиения) с помощью точек xo = a, x1, x2, …, xnn = b. Можно записать, что

xi = xo + h i, где i = 1, 2, …,n.

В середине ci = xi−12+ xi каждого такого отрезка построим ординату yi = f (ci) гра-

фика функции y = f (x). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h yi.

2

Тогда сумма площадей всех n прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

Формула (1) называется формулой средних прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенного равенства оценивается с помощью следующей формулы:

(b −a)2 M1

2n

где M1 – наибольшее значение | f ′(x)| на отрезке [a;b].

ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ

Эту формулу получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок [a;b] на n рав-

ных частей длины h = b −n a . Абс-

циссы точек деления a = xo, x1, x2,

…, b = xn. Пусть yo, y1,…, yn –

соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений

примут вид

xi = a + h i, yi = f (xi), i = 0,1,2,…,n; h = b −n a .

Заменим кривую y = f (x) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат yi и yi + 1 (i = 0,1,2,…,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi, yi + 1 и высотой

Формула (2) называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы

3

(b −a)3 M2 , 12n2

где M2 – наибольшее значение | f ′′(x)| на отрезке [a;b].

ФОРМУЛА ПАРАБОЛ (СИМПСОНА)

Если заменить график функции y = f (x) на каждом отрезке [xi–1; xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла.

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы y = ax2 + bx + c, сбоку – прямыми x = –h, x = h и снизу – отрезком [–h; h].

Пусть парабола проходит через три точки M1(–h;yo), M2(0;y1), M3(h;y3), где yo = ah2 – bh + c – ордината параболы в точке x = –

h; y1 = c – ордината параболы в точке x = h. Площадь S равна

Выразим эту площадь через h, yo, y1, y2. Из равенств для ординат yi находим, что

b

∫ f (x)dx .

a

Для этого отрезок [a;b] разобьем на 2n равных частей (от-

резков) длиной h = b2−na точка-

ми xi = xo + ih (i = 0,1,2,…,2n).

В точках деления

a = xo, x1, x2, …, x2n–2, x2n–1, x2n = b

вычисляем значения подынтегральной функции f (x):

yo, y1, y2, …, y2n–2, y2n–1, y2n,

где yi = f (xi).

Заменяем каждую пару элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапеции с основанием, равным

2h. На отрезке [xo;x2] парабола проходит через три точки (xo;yo), (x1;y1), (x2;y2). Используя формулу (4), находим

4

+2( y2 + y4 +... + y2n−2 ))

Формула (5) называется формулой парабол (или Симпсона).

Заметим, что для формулы Симпсона необходимо отрезок интегрирования разбивать на четное количество частей.

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (5) оценивается соотношением

| Rn |≤ (b −a)5 M4 , 180(2n)4

где M4 = max | f IV (x) |.

a≤x≤b

b

Задача. Вычислить определенный интеграл ∫ f (x)dx по формулам средних пря-

a

моугольников, трапеций и Симпсона. Отрезок интегрирования разбить на n частей. Оценить абсолютную погрешность вычислений по каждой из формул.

Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы: 1) постановка задачи; 2) необходимый теоретический материал (краткий конспект); 3) решение поставленной задачи с использованием пакета Mathcad; 4) анализ полученных результатов.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

5

Вопросы к защите лабораторной работы

1.Что называется определенным интегралом?

2.Что называют интегральной суммой?

3.Когда применяют формулу Ньютона-Лейбница?

4.Когда применяют численное интегрирование?

5.В чем заключается геометрический смысл определённого интеграла?

6.В чем заключается физический смысл определенного интеграла?

7.Вывод формулы прямоугольников.

8.Вывод формулы трапеций.

6