- •Экономики и торговли
- •Ббк 22.1я 73
- •ВВедение
- •Определители и системы линейных уравнений
- •1.2. Системы трех линейных уравнений и определители третьего порядка
- •2.1. Понятие о матрицах Матрицейназывается прямоугольная таблица чисел следующего вида:
- •2.2. Действия над матрицами
- •2.3. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
- •2.4. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
- •3. Вопросы совместимости линейных уравнений
- •3.1. Ранг матрицы Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля определителя, который можно образовать из элементов данной матрицы, сохраняя порядок следования элементов.
- •3.2. Системы линейных неоднородных уравнений
- •3.3. Системы линейных однородных уравнений
- •4. Элементы векторной алгебры и метода координат
- •4.1. Векторные величины и действия над ними
- •Исследуем общее уравнение.
- •Часть I. Определители, Матрицы,
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Часть II. Векторы
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Часть III. Прямая линия на плоскости
- •Литература
2.3. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
Метод обратной матрицы – это метод решения квадратных систем линейных уравнений, в которых определитель системы не равен нулю.
Рассмотрим систему:
Обозначим через матрицу коэффициентов при неизвестных, через и – матрицы-столбцы переменных и правой части.
; ; ; .
Систему уравнений можно представить в матричной форме, она примет такой вид:
.
Умножим это равенство на обратную матрицу
, ,
Мы получили матричную запись решения системы линейных уравнений, из которой можно заключить следующее: чтобы квадратную систему линейных уравнений решить методом обратной матрицы, необходимо найти обратную матрицу и умножить ее “слева” на матрицу-столбец .
Пример 9. Решить систему методом обратной матрицы
.
Ранее мы нашли обратную для матрицы – в примере 8.
, , .
Проверка показывает, что система решена верно.
2.4. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений. Он заключается в приведении системы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных и реализуется в несколько этапов:
I этап– выбирается первое ведущее уравнение, содержащее, и с его помощью из всех остальных уравнений исключается .
II этап– первое ведущее уравнение остается неизменным; выбирается второе ведущее уравнение из всех оставшихся и с его помощью исключается неизвестная ;
III этап– первое и второе ведущие уравнения остаются неизменными. Выбирается третье ведущее и с его помощью исключается и т.д.
Когда система приведена к треугольному виду, то, двигаясь в обратном порядке, находят значения неизвестных величин.
Пример 10. Решить систему методом Гаусса.
В качестве первого ведущего выбираем второе уравнение, т.к. у него первый коэффициент равен единице.
І этап
ІI этап
Из третьего уравнения определяем: ; из второго: , , ; из первого: . Таким образом, .
Замечание. Очень удобной модификацией метода Гаусса является правило прямоугольника, которое тоже реализуется поэтапно.
Пример 11. Рассмотрим систему и решим ее модифицированным методом Гаусса.
Идея подхода прежняя – расширенная матрица приводится к треугольному виду. Она составляется с участием правой части системы и контрольного столбца :
Элементы контрольного столбца равны сумме всех элементов соответствующих строк.
I этап.Считаем первый диагональный элемент не равным нулю (в противном случае поменяет местами строки). Этот элемент назовемпервым генеральным элементом. В данном случае – это число 2. Далее первую строку переписываем без изменения, а первый столбец дополняем нулями. Остальные элементы определяем по правилу прямоугольника. Чтобы построить прямоугольник, каждый элемент соединяют с первой строкой и первым столбцом, а затем – с генеральным элементом. Вычисления проводят так: из произведения элементов диагонали, содержащей генеральный элемент, вычитают произведение элементов второй диагонали. В результате указанных преобразований получим:
Контрольный столбец, вычисленный по правилу прямоугольника, по-прежнему должен равняться сумме элементов строки.
II этап.Вторым генеральным элементом будет второй диагональный элемент. Далее первую и вторую строки переписываем без изменения, а первый и второй столбец дополняем нулями. Остальные элементы находим по правилу прямоугольника.
Сократим третью строку на 2, а четвертую – на (– 2).
III этап.Выбираем третий генеральный элемент – он третий по диагонали. Три строки оставляем без изменения, три столбца дополняем нулями, остальные элементы – по правилу прямоугольника.
Матрица приведена к треугольному виду. Контрольный момент проверен. Начиная с последней строки, определим неизвестные.
, ,
, ,
, ,
, , .
Проверка: