Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Пенина Г.Г. Данилейко Е. Элементы линейной алгебры и аналит. геометрии.doc
Скачиваний:
163
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
9.42 Mб
Скачать

2.3. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это метод решения квадратных систем линейных уравнений, в которых определитель системы не равен нулю.

Рассмотрим систему:

Обозначим через матрицу коэффициентов при неизвестных, через и – матрицы-столбцы переменных и правой части.

; ; ; .

Систему уравнений можно представить в матричной форме, она примет такой вид:

.

Умножим это равенство на обратную матрицу

, ,

Мы получили матричную запись решения системы линейных уравнений, из которой можно заключить следующее: чтобы квадратную систему линейных уравнений решить методом обратной матрицы, необходимо найти обратную матрицу и умножить ее “слева” на матрицу-столбец .

Пример 9. Решить систему методом обратной матрицы

.

Ранее мы нашли обратную для матрицы – в примере 8.

, , .

Проверка показывает, что система решена верно.

2.4. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений. Он заключается в приведении системы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных и реализуется в несколько этапов:

I этап– выбирается первое ведущее уравнение, содержащее, и с его помощью из всех остальных уравнений исключается .

II этап– первое ведущее уравнение остается неизменным; выбирается второе ведущее уравнение из всех оставшихся и с его помощью исключается неизвестная ;

III этап– первое и второе ведущие уравнения остаются неизменными. Выбирается третье ведущее и с его помощью исключается и т.д.

Когда система приведена к треугольному виду, то, двигаясь в обратном порядке, находят значения неизвестных величин.

Пример 10. Решить систему методом Гаусса.

В качестве первого ведущего выбираем второе уравнение, т.к. у него первый коэффициент равен единице.

І этап

ІI этап

Из третьего уравнения определяем: ; из второго: , , ; из первого: . Таким образом, .

Замечание. Очень удобной модификацией метода Гаусса является правило прямоугольника, которое тоже реализуется поэтапно.

Пример 11. Рассмотрим систему и решим ее модифицированным методом Гаусса.

Идея подхода прежняя – расширенная матрица приводится к треугольному виду. Она составляется с участием правой части системы и контрольного столбца :

Элементы контрольного столбца равны сумме всех элементов соответствующих строк.

I этап.Считаем первый диагональный элемент не равным нулю (в противном случае поменяет местами строки). Этот элемент назовемпервым генеральным элементом. В данном случае – это число 2. Далее первую строку переписываем без изменения, а первый столбец дополняем нулями. Остальные элементы определяем по правилу прямоугольника. Чтобы построить прямоугольник, каждый элемент соединяют с первой строкой и первым столбцом, а затем – с генеральным элементом. Вычисления проводят так: из произведения элементов диагонали, содержащей генеральный элемент, вычитают произведение элементов второй диагонали. В результате указанных преобразований получим:

Контрольный столбец, вычисленный по правилу прямоугольника, по-прежнему должен равняться сумме элементов строки.

II этап.Вторым генеральным элементом будет второй диагональный элемент. Далее первую и вторую строки переписываем без изменения, а первый и второй столбец дополняем нулями. Остальные элементы находим по правилу прямоугольника.

Сократим третью строку на 2, а четвертую – на (– 2).

III этап.Выбираем третий генеральный элемент – он третий по диагонали. Три строки оставляем без изменения, три столбца дополняем нулями, остальные элементы – по правилу прямоугольника.

Матрица приведена к треугольному виду. Контрольный момент проверен. Начиная с последней строки, определим неизвестные.

, ,

, ,

, ,

, , .

Проверка: