19-11-2014_13-28-11 / Метод теории игр

Методические основы по методу теории игр

При решении задач в области маркетинга часто приходится анализировать ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих сторон, преследующих различные цели. Такого рода ситуации называются конфликтными, а аппаратом для решения этих задач служит теория игр.

В игре могут сталкиваться интересы двух (игра парная) или нескольких (игра множественная) противников, а также существуют игры с бесконечным множеством игроков. Если во множественной игре игроки образуют коалиции, то игра называется коалиционной, если таких коалиций две, то игра сводится к парной.

Важным элементом в условии игровых задач является стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор действий данного игрока. Если в процессе игры игрок применяет попеременно несколько стратегий, то такая стратегия называется смешанной, а ее элементы называются чистыми стратегиями. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Решение подобных задач требует полной определенности в формулировании правил игры, т.е. установление количества игроков, выявление возможных стратегий и возможных выигрышей. Во многих игровых задачах неопределенность вызвана не сознательным противодействием противника, а недостаточной осведомленностью об условиях, в которых действуют стороны (например, неизвестна заранее погода в некотором регионе, покупательский спрос на некоторую продукцию и т.д.). Подобного рода игры называются играми с природой. Решение такого рода задач осуществляется либо путем рассмотрения матрицы рисков, либо путем использования минимаксных критериев.

На промышленных предприятиях теория игр может использоваться для выбора оптимальных решений, например, при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, гарантирующих бесперебойную работу производства, и сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении таких экономических задач, как выбор для возделывания одной из возможных культур, урожай которых зависит от погоды (будет ли лето засушливым, нормальным или дождливым); в этом случае одним из игроков выступает сельскохозяйственное предприятие, стремящееся обеспечить наибольший доход, а другим игроком является природа.

Постановка задачи и последовательность ее решения

Швейное предприятие, выпускающее детские платья и костюмы, реализует свою продукцию через фирменный магазин. Сбыт продукции зависит от состояния погоды. По данным прошлых лет наблюдений предприятие в течение апреля –мая в условиях теплой погоды может реализовать 606 костюмов и 1897 платьев, а при прохладной погоде – 1011 костюмов и 626 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции для костюмов – 22 ден.ед., для платьев – 11 ден.ед., а цена реализации равна соответственно 41 ден.ед. и 16 ден.ед.

Задача заключатся в максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы. Таким образом, служба маркетинга предприятия должна в этих условиях определить оптимальную стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде определенную среднюю прибыль. Решим эту задачу методом теории игр, причем игра в этом случае будет относиться к типу игр с природой.

Последовательность решения задачи:

Предприятие располагает в этих условиях двумя чистыми стратегиями: стратегия А - с расчетом на теплую погоду и стратегия Б - с расчетом на холодную погоду. Природу будем рассматривать как второго игрока также с двумя стратегиями: прохладная погода (стратегия В) и теплая погода (стратегия Г). Если предприятие выберет стратегию А, то в случае прохладной погоды (стратегия природы В) прибыль предприятия составит

П(А/В) = 606*(41 – 22) + 626*(16 – 11) – (1897 – 626)*11 = 663 ден.ед.

а в случае теплой погоды (стратегия природы Г) прибыль будет равна

П(А/Г) = 606*(41 – 22) + 1897*(16 – 11) = 20999 ден.ед.

Если предприятие выберет стратегию Б, то реализация в условиях прохладной погоды принесет прибыль П(Б/В) = 22339 ден.ед

а в условиях теплой погоды П(Б/Г) = 5734 ден.ед.

Следовательно, матрица данной игры (платежная матрица) имеет вид:

Погода

А

Б

В Г

М = Предприятие

Первая и вторая строки этой матрицы соответствуют стратегиям А и Б предприятия, а первый и второй столбцы – стратегиям В и Г природы.

Из платежной матрицы видно, что первый игрок (предприятие) никогда не получит прибыль меньше 663 ден.ед. Эта величина прибыли будет минимально гарантированной для предприятия. Но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то прибыль предприятия (выигрыш) составит 20999 ден.ед. или 22339 ден.ед. Отсюда можно сделать вывод, что в условиях неопределенности погоды среднюю гарантированную прибыль предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то стратегию А, то стратегию Б. Такая стратегия называется смешанной. Оптимизация смешанной стратегии позволит первому игроку всегда получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии второго игрока.

Пусть х - означает частоту применения первым игроком стратегии А, тогда частота применения им стратегии Б равна (1–х). В случае оптимальной смешанной стратегии первый игрок (предприятие) получит и при стратегии В (холодная погода) и при стратегии Г (теплая погода) второго игрока одинаковую среднюю прибыль:

663*х + 22339(1 – х) = 20999*х + 5734(1 – х)

Отсюда получаем:

х = 0,45 1 – х = 0,55.

Следовательно, первый игрок, применяя чистые стратегии А и Б в соотношении 45/55, будет иметь оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае среднюю прибыль.

Легко рассчитать, какое количество костюмов и платьев должно выпускать предприятие при оптимальной стратегии (Д):

(606 костюмов + 1897платьев)*0,45 + (1011 костюмов + 626 платьев)*0,55 = 829 костюмов + 1198 платьев. Рассчитаем величину прибыли предприятия при использовании им смешанной стратегии Д при различных погодных условиях (В – холодная погода; Г – теплая погода).

П( Д/В) = 829*(41-22) + 626*(16-11) – (1198-626)*11 = 12589 ден.ед.

П(Д/Г) = 606*(41-22) + 1198*(16-11) – (829-606)*22 = 12598 ден.ед.

Как видно из расчетов предприятие никогда не получит прибыль меньше 12589 ден.ед. Эта величина прибыли будет минимально гарантированной для предприятия. Но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то прибыль предприятия (выигрыш) составит 12598 ден.ед.

Таким образом, как уже было показано выше, использование предприятием «чистых» стратегий обеспечит получение минимально гарантированной прибыли на уровне 663 ден.ед., а использование «смешанной» стратегии 12589 ден.ед.

Следовательно, оптимальной является «смешанная» стратегия предприятия (Д), которая заключается в выпуске 829 костюмов и 1198 платьев. Использование смешанной стратегии предприятием обеспечит ему при любой погоде минимально гарантированную прибыль в размере 12589 ден.ед., что на 11926 ден.ед. (в 19 раз) больше чем при использовании чистых стратегий.