Зміна напружень у часі

Під час дії на деталь постійного за модулем та напрямом наванта­ження в ній виникають постійні напруження. Якщо модуль або на­прям навантаження щодо деталі змінюється в часі, то і напруження в деталі будуть мінятися в часі. Наприклад, змінні в часі напруження будуть тоді, коли навантаження постійне, але змінюється положення деталі щодо напряму навантаження (постійна за модулем і напрямом поперечна сила на вісь, що обертається, спричинює в перерізах цієї осі змінні в часі напруження).

Змінні напруження, що виникають у деталях машин, у більшості випадків змінюються в часі періодично.

На рис. 4.3 показаний графік можливої періодичної зміни нормального σ чи дотичного τ напруження в часі t.

Сукупність всіх напружень за один період зміни їх називається циклом напружень. Цикл напружень характеризується максимальним σ_max і мінімальним σ_min напруженнями, а також амплітудою напружень σ_а та коефіцієнтом асиметрії циклу R. Середнє напруження σ_m циклу дорівнює алгебраїчній півсумі максимального і мінімального напружень:

σ_m = 0,5(σ_max + σ_min). (13)

Амплітуда напружень σ_a циклу –це алгебраїчна піврізниця максимального та мінімального напружень:

σ_a = 0,5(σ_max – σ_min). (14)

Відношення мінімального напруження циклу до максимального, взяте з відповідним знаком, називається коефіцієнтом асиметрії циклу

R = σ_min/σ_max. (15)

Практичне застосування в розрахунках деталей машин знаходять: постійне напруження (σ_m = σ; σ_а = 0; R = 1), симетричний (σ_m = 0; σ_а = σ_max; R = –1) і пульсуючий (σ_m = 0,5σ_max; σ_а = 0,5·σ_max; R = 0) цикли напружень. Усі інші цикли напружень можуть бути зведені до певної сукупності названих трьох циклів.

Відомо, що змінні напруження спричинюють явища втоми матеріалу деталей. Характеристикою міцності матеріалу в цьому випадку виступає границя витривалості σ_R (відповідно σ_–1, τ_–1 для симетричного і σ₀, τ₀ для пульсуючого циклів).

Визначення граничних напружень

Вихідною для визначення граничних напружень має бути одна з нормативних механічних характеристик матеріалу:

а) для постійно діючих напружень: границя текучості σ_т (τ_т) – для пластичних матеріалів і границя міцності σ_В (τ_в) – для крихких матеріалів;

б) для змінних у часі діючих напружень: границя витривалості σ_r (τ_r).

Нормативні механічні характеристики дістають в лабораторних умовах для стандартних зразків матеріалів. Оскільки розміри, форма, умови виготовлення і роботи реальних деталей можуть значно відрізнятися від зразків, результати лабораторних випробувань не можна безпосередньо використовувати в розрахунках без відповідних поправок. Із переходом від нормативних значень механічних характеристик до граничних напружень для реальних деталей треба враховувати деякі фактори.

Вплив абсолютних розмірів деталі (масшабний фактор). Досвід показує, що зі збільшенням розмірів деталей внаслідок зміни відносного впливу поверхневого шару матеріалу і збільшення неоднорідності його властивостей характеристики міцності матеріалу мають тенденцію зменшуватись. Зменшення характеристик міцності враховують коефіцієнтами K_d впливу абсолютних розмірів:

σ_тд = K_dт σ_т, σ_вд = K_dВσ_B, σ_–1д = K_dσ_–1 (16)

Тут індексом «д» позначені характеристики міцності деталі.

Більш детальні відомості про коефіцієнт K_d можна знайти у відповідній довідковій літературі.

Вплив форми деталі. Великий вплив на міцність деталей, особливо при циклічно змінних напруженнях, має місцева зміна форми деталей і пов'язане з цим явище концентрації напружень. У місцях різкої зміни форми деталей (отвори, надрізи, галтелі, проточки), які називають концентраторами напружень, виникають місцеві піки напружень (рис. 4.6,а–в).

Відношення найбільших напружень у зоні концентрації σ_к (τ_к) до номінальних напружень (з урахуванням послаблення перерізу концентратором) називається теоретичним коефіцієнтом концентрації напружень:

α_σ = σ_к/σ; α_τ = τ_к/τ. (17)

Безпосереднє використання коефіцієнтів α_σ і α_τ в інженерних розрахунках не дає задовільних результатів. Досвід показує, що внаслідок виникнення в зоні концентрації об'ємного напруженого стану, впливу пластичних властивостей та ефекту зміцнення реальних матеріалів максимуми напружень згладжуються, і зменшення міцності матеріалу в зоні концентрації визначається не теоретичними коефіцієнтами α_σ і α_τ, а так званими ефективними коефіцієнтами кон­центрації напружень, які безпосередньо повинні вводитись у розрахунок. Ці коефіцієнти – відношення механічних характеристик матеріалів, добутих для гладких зразків, до тих же характеристик зразків з тим чи іншим концентратором. Так, для статичних випробувань

К_sσ= σ_в /σ_вк; K_sτ = τ_в/τ_вк (18)

а для випробувань на втому із симетричним циклом

К_σ = σ_–1/σ_–1к ; К_τ = τ_–1/τ_–1к . (19)

Між теоретичними та ефективними коефіцієнтами концентрації напружень існують такі співвідношення:

α_σ >>К_σ і α_τ >> К_τ .

Для пластичних матеріалів та крихких із значною внутрішньою неоднорідністю (чавун, деякі види кольорового литва) при постійних напруженнях ефективні коефіцієнти концентрації напружень K_sσ і K_sτ близькі до одиниці. Тільки для крихких матеріалів із однорідною структурою (загартована сталь) K_sσ і K_sτ можуть досягати значень 1,3–1,4.

Дуже висока чутливість матеріалів до концентрації напружень при циклічно змінних напруженнях. У цьому випадку ефективні коефіцієнти концентрації напружень можуть досягати значень 2,5–3,0 і більше.

Вплив стану поверхні деталі і поверхневого зміцнення. При постій–но діючих напруженнях стан робочих поверхонь деталей має незнач­ний вплив на їхню міцність. При змінних напруженнях руйнування деталей пов'язане з появою втомних тріщин, які здебільшого виника­ють у поверхневих шарах матеріалу. В цьому випадку будь–яке пош­кодження поверхні деталі спричинює появу концентрації напружень та зменшення границі витривалості σ_R . Таке зменшення σ_R більш помітне для матеріалів із високою границею міцності σ_в.

Обернену дію має спеціальне зміцнення поверхні деталей накле­пуванням (наприклад, обдуванням сталевими кульками), поверхне­вим гартуванням СВЧ, цементацією чи азотуванням. Для деталей із поверхневим зміцненням поверхні коефіцієнт зміцнення можна бра­ти К_зм = 1,20... 1,50 (менші значення для високоміцних сталей та де­талей великих розмірів, більші – для деталей із високими пластич­ними властивостями та деталей малих розмірів).

Для деталей із полірованою поверхнею К_зм = 1, а для деталей, що мають поверхні, оброблені різцем (точіння, фрезерування), К_зм = 0,75...0,90. Найменше значення коефіцієнт зміцнення має для де­талей, які працюють в агресивному середовищі (наприклад, для де­талей, які працюють у морській воді, К_зм = 0,15...0,40).

Вплив строку служби деталі та режиму навантаження. Строк служби деталей, що знаходяться під дією постійних напружень, визначається випадковими пошкодженнями при перевантаженнях, корозійним чи абразивним спрацюванням, моральним старінням конструкції або іншими обставинами, які слід враховувати в кожному конкретному випадку на основі накопиченого досвіду експлуатації подібних елементів машин.

При роботі деталей в умовах циклічно змінних напружень строк служби h суттєво впливає на граничні напруження. Кожний цикл напружень викликає в матеріалі деталі накопичення фізичних змін, які спричинюють виникнення мікроскопічних тріщин, розвиток яких обумовлює поломки – руйнування втомного характеру.

Відомо, що циклічні напруження високих рівнів руйнують деталі при малому числі циклів, а напруження низьких рівнів – деталі при високому числі циклів. Взаємозв'язок між максимальним напру­женням циклу σ_mах із коєфіцієнтом асимєтрії R і числом циклів N_ц , при якому відбувається руйнування матеріалу деталі, встановлюється за допомогою спеціальних експериментальне добутих графіків, які називаються кривими втоми матеріалу, або кривими Веллера. Крива втоми будується для різних матеріалів з попередньо заданою ймовірністю неруйнування. Для однорідних сталей крива втоми має вигляд, показаний на рис. 4.7, а.

Криві втоми мають дві ділянки: криволінійну, що лежить ліворуч від точки N₀, і близьку до горизонтальної – праворуч від цієї точки. Це чіткіше видно на графіку, побудованому в системі координат

σ_mах – lg · N_ц (рис. 4.7, б).

Число циклів напружень N₀, що відповідає переходу кривої втоми в горизонтальну ділянку, називається базою випробувань, а відповідне йому напруження σ_R – довгочасною або необмеженою границею витривалості матеріалу.

Найбільше напруження циклу, яке із заданою ймовірністю неруйнування може витримати матеріал при числі циклів N_N < N₀, називається обмеженою границею витривалості, яку будемо позначати σ_N (рис. 4.7).

Для ряду матеріалів і умов навантаження криві втоми не мають горизонтальної ділянки. В таких випадках можна говорити лише про обмежену границю витривалості матеріалів.

Криволінійна ділянка кривої втоми може бути апроксимована рівнянням

N_ц·σ_і^m = const, (20)

де показник степеня для сталей m = 6... 10 характеризує нахил кривої втоми.

Враховуючи рівність (20), можна встановити взаємозв'язок між необмеженою σ_R і обмеженою σ_N границями витривалості:

,

Звідки , (21)

де k_l – коефіцієнт довговічності, що визначається за виразом

. (22)

Число циклів N_ц напружень пов'язане із строком служби h деталі. Якщо строк служби задано (h, год) і відома при постійному навантаженні частота зміни напружень за одиницю часу n, с^–1 (у більшості випадків дорівнює або кратна числу обертів чи ходів машини), то легко обчислити повне число циклів зміни напружень за весь строк служби деталі за виразом N_h = 3600nh. У випадку N_h < N₀ дістанемо K_L> 1, σ_N > σ_R і розрахунок доцільно виконувати за обмеженою границею витривалості. Якщо N_h > N₀, то коефіцієнт довговічності K_L , беруть рівним одиниці і відповідно σ_N = σ_R (при наявності горизонтальної ділянки на кривій втоми матеріалу).

Викладені міркування можуть бути основою для розв'язування оберненої задачі, тобто для визначення строку служби деталей, коли відомі їхні розміри, матеріал і умови навантаження.

Розглянемо тепер визначення коефіцієнта довговічності K_L для випадку змінного в часі навантаження і відповідних цьому навантаженню змінних напружень протягом строку служби деталі.

Нехай протягом часу h₁ деталь працює при напруженнях σ₁ із частотою зміни цих напружень n₁ (рис. 4.8, а), протягом часу h₂ – при напруженнях σ₂ з частотою n₂ і т. д. За кожний період h₁ h₂, ..., h_і число циклів напружень відповідно буде

N_ц1 = n₁·h₁ ; N_ц2 = n₂·h₂; N_ці = n_і·h_і;

а загальне число циклів за строк служби деталі

N_∑ = ∑N_{ц і} = ∑n_іh_і = n_Eh, (23)

де п_Е – деяка еквівалентна частота зміни напружень.

Вести розрахунок за найбільшими діючими напруженнями σ₁ і за числом циклів N_∑ було б невірно, оскільки напруження σ₁мають N_ц1 циклів, що значно менше N_∑. Такий розрахунок призвів би до невиправданого збільшення розмірів деталі.

У даному разі розрахунок будують на так званому принципі лінійного підсумовування пошкоджень. Суть цього принципу можна сформулювати так: загальна кількість пошкоджень, накопичених в матеріалі деталі явищами втомного руйнування, дорівнює сумі пошкоджень за різні періоди роботи при різних рівнях напружень. Цей принцип наближено виражається такою залежністю:

∑ N_ці /N ≈ 1 (24)

де N_ці – число циклів дії деякого напруження σ_і; N – число циклів до руйнування при цьому ж напруженні.

На основі рівності (24) складний характер зміни напружень можна звести до напруження постійного рівня σ = σ_mах = σ₁, з еквівалентним числом циклів N_E < N_∑ і діючого протягом часу h, або до деякого еквівалентного напруження σ_Е < σ₁ але з числом циклів N_∑ протягом часу h.

На практиці в більшості випадків використовують зведення склад­ного характеру зміни напружень до напруження постійного рівня σ = σ_mах з еквівалентним числом циклів N_E (рис. 4.8, б).

Помножимо чисельник і знаменник у рівності (24) на σ_і^m :

∑( N_ці · σ_і^m)/(N · σ_і^m) = 1.

У знаменнику маємо постійну величину, яку відповідно до рівняння кривої втоми змінимо на N₀σ_R^m і винесемо з–під знаку суми: ∑N_ці · σ_і^m = N₀ · σ_R^m = const. (25)

На основі залежності (25) дію всього комплексу напружень протягом розрахункового строку служби замінимо дією максимального напруження з еквівалентним числом циклів N_E :

∑N_ці · σ_і^m = N_E · σ_mах^m. (26)

Звідси еквівалентне число циклів напружень

N_E = ∑(σ_і /σ_mах)^m · N_ці = ∑(σ_і /σ_mах)^m · n_і · h_і = n_E · h∑(σ_і /σ_mах)^m · (n_і/n_Е) · (h_i/h).

Враховуючи співвідношення (23), а також позначивши

К_Е = ∑(σ_і /σ_mах)^m · (n_і/n_Е) · (h_i/h); (27)

дістанемо кінцеву формулу для визначення еквівалентного числа циклів

N_E = K_E · N_∑. (28)

Величина К_Е називається коефіцієнтом інтенсивності змінних напружень. Оскільки при напруженнях, спричинених змінним навантаженням, К_Е < 1 відповідно N_E < N_∑– У даному випадку коефіцієнт довговічності згідно з формулою (22) буде виражатись таким чином: (29)

Відношення напружень σ_і /σ_mах у (27) можна замінити відношен­ням відповідних навантажень F_і/F або T_і/T. При цьому якщо σ_і залежить від F_і лінійно, що має місце в більшості практичних ви­падків, то показник степеня m у (27) залишається без змін. Якщо ж σ_і виражається через F_і у вигляді , наприклад при виз­наченні контактних напружень у деталях із лінійним контактом, то показник степеня повинен бути заміненим на m/2. Відповідно до цього коефіцієнти інтенсивності напружень К_Е можна виразити через навантаження і характеризувати інтенсивність їх протягом строку служби деталі.

Для розрахунків деталей при деформаціях розтягу, згину або кручення

K_E = ∑(F_t/F)^m · (n_і/n_E) · (h_i/h);

K_E = ∑(Т_t/Т)^m · (n_і/n_E) · (h_i/h). (30)

Для розрахунків на контактну міцність деталей з лінійним кон­тактом

K_НЕ = ∑(F_t/F)^m/2 · (n_і/n_E) · (h_i/h). (31)

Коефіцієнти інтенсивності навантаження при типових режимах навантаження деталей машин (див. рис. 2.3) наведені в табл. 4.1 для випадку, коли частота напружень не змінюється із зміною навантаження, тобто n_і/n_E = 1.

Деякі відомості про значення показників степеня m кривої втоми для різних матеріалів, а також бази випробувань N₀ наведені в табл.

Граничні напруження. На основі даних про вплив різних факторів на граничні напруження в деталях машин і з урахуванням вихідного значення однієї з нормативних механічних характеристик матеріалу можна записати формули для визначення граничних напружень σ_lim реальної деталі:

• для деталей з пластичних матеріалів, які працюють при постійних напруженнях,

• σ_lim = σ_T · K_dT/K_sσ, τ_lim = τ_Т · K_d/K_sτ; (32)

• для деталей з крихких матеріалів, які працюють при постійних на­пруженнях,

• σ_lim = σ_B · K_dB/K_sσ, τ_lim = τ_B · K_dB/K_sτ (33)

• для деталей з будь-яких матеріалів, які працюють при циклічно змінних напруженнях,

σ_lim = σ_R · K_d · K_ЗM · K_L/K_σ; τ_lim = τ_R · K_d · K_ЗM · K_L/K_τ. (34)

У записаних формулах:

K_d ≤ 1 – коефіцієнт впливу абсолютних розмірів деталі; [K_sσ · (K_sτ); K_σ · (K_τ)] ≥ 1 – ефективні коефіцієнти концентрації напружень при постійних і циклічно змінних діючих напруженнях; К_зм 1 – коефіцієнт, який враховує стан поверхні деталі або її поверхневе зміцнення; K_L ≥ 1 – коефіцієнт довговічності [див. формули (22) і (29)].