Вавилонская нумерация

Первой известной нам позиционной системой счисления была шестидесятеричная система вавилонян, возникшая примерно за 2500≈2000 лет до н. э. Основанием ее служило число 60.

В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация тоже поместная. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число 10, играет число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятиричной. Числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы, идля десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например

- 3; - 20; - 32

а это число 59.

Вавилонский способ обозначения чисел больше 60 очень похож на наш: В этом случае цифры записываются по разрядам, с небольшими пробелами между:

Так записывается число 302, то есть 5

А это 1

При отсутствии разряда вставлялся значек , игравший роль нуля.

это запись числа 7203 (26060

Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 360 записывалось так , а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и 10800 (36060), и т. д. Различать эти числа можно было только по смыслу текста.

Шестидесятеричная система счисления появилась у вавилонян позже десятеричной, ибо числа до 60 записываются в ней по десятичному принципу. Но до сих пор неизвестно, когда и как возникла у вавилонян шестидесятеричная система. На этот счет строилось множество гипотез, но ни одна не доказана.

Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти пределы: Ближний Восток, Средняя Азия, Северная Африка, Западная Европа пользовались ими. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей, т. е. До начала XVII века. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд.

Нумерация индейцев Майя

Эта нумерация очень интересна тем, что на ее развитие не повлеяла ни одна из цивилизаций Старого Света. Однако в ней использованы все те же принципы. Сначала эта нумерация обслуживала пятиричную систему счисления, а потом ее приспособили для двадцатиричной.

	1		9
	2		10
	3		11
	4		12
	5		13
	6		15
	7		19
	8		0 или 20

 

Записывались цифры числа в столбик, начиная со знаков , затем знаки, а потомбольших значений и заканчивая меньшими.

59	16	23

 20+20+5+5+5+1+1+1+1 = 59; 5+5+5+1 = 16; 20+1+1+1 = 23

Такая запись числа аддитивна, то есть в ней используется только сложение:

Понятие системы счисления.

Под системой счисления понимается способ представления чисел с помощью некоторого ограниченного алфавита символов.

Символы алфавита, которй используют для записи чисел, называют цифрами.

Цель создания системы счисления- выработка наиболее удобного способа записи числовой информации. Удобная система счисления должна обладать следующими свойствами:

• простота и краткость записи;

• однозначность представления;

• удобство выполнения арифметических операций над числами;

• легкость и наглядность обучения основам работы с числами.

Разновидности систем счисления.

Различают позиционные(мультипликативные) и непозиционные(аддитивные) системы счисления.

Непозиционной системой счисления является такая система счисления, в которой каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе.

Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления. Например, в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Непозиционные системы строятся по принципу аддитивности (англ.Add - сумма) - количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр.

К недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Позиционной называют систему счисления, в которой значение цифры зависит от ее положения в записи числа. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону.

Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления. Систему счисления с основанием p называют p – ричной системой счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д Но используются только самые удобные основания систем счисления. Наиболее употребимыми в настоящее время позиционными системами являются:

2 — двоичная(вдискретной математике,информатике,программировании)

10 — десятичная система счисления

16 — шестнадцатеричная(наиболее часто используется впрограммировании, а также вшрифтах)

60 — шестидесятеричная(измерение углови, в частности,долготыишироты).

В вычислительной технике нашли применение системы счисления с основанием, равным степени числа 2: двоичная, восьмеричная,шестнадцатеричная. Для принадлежности чисел к системе счисления используют следующие обозначения:

b – 2-ичная – 1011b

h – 16-ричная – 1С45h

d – 10-тичная – 1243d

Таблица 1.

Основание	Используемые цифры
10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2	0, 1
8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)

При рассмотрении позиционных систем важным является понятие базиса системы счисления. Базис позиционной системы счисления - это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры "по месту" или "вес" каждого разряда.

Таблица 2

Основание	Базисы по разрядам
Номера разрядов	0	1	2	3	4	5
10	1	10	10*2	10*3	10*4	10*5
2	1	2	4	8	16	32
8	1	8	8*2	8*3	8*4	8*5
16	1	16	16*2	16*3	16*4	16*5

Двоичная система счисления.

Внутри ПК информация представлена сигналами. Для хранения сигнала служит электронная схема, называемая триггером. Триггер может принимать только два значения :

1 – есть сигнал

0 – нет сигнала

Именно поэтому ПК работает с двоичной системой счисления.

Минимальной единицей информации в компьютере является бит. Бит может быть либо "выключен", при этом его значение равно нулю, либо "включен", тогда его значение равно единице. Единственный бит не обеспечивает представления большого количества информации, в отличие от группы битов.

Группа из восьми бит представляет собой байт. Восемь бит дают 256 () различных комбинаций включенных и выключенных состояний: от "все включены" (00000000) до "все включены" (11111111). Восемь бит обеспечивают основу для двоичной арифметики и для представления символов, таких, как буква А или символ *. Например, сочетание включенных и выключенных битов для представления буквы А выглядит как 01000001, а для символа * - 00101010.

С целью стандартизации в микрокомпьютерах используется американский национальный стандартный код для обмена информацией ASCII (American National Standard Code for Information Interchange). Именно по этой причине комбинация битов 01000001 обозначает букву А. Наличие стандартного кода облегчает обмен данными между различными устройствами компьютера. Восьмибитовый расширенный ASCII-код, используемый в РС, обеспечивает представление 256 символов, включая символы для национальных алфавитов.

По соглашению биты в байте пронумерованы от 0 до 7 справа налево.

Номера битов:	7	6	5	4	3	2	1	0
	128	64	32	16	8	4	2	1

Число равно 1024, что составляет один килобайт и обозначается буквой К. Число- 64 Кб. Числоравно 1048576, что составляет один мегабайт и обозначается буквой M.

Шестнадцатибитовое (двухбайтовое) поле называется словом. Биты в слове пронумерованы от 0 до 15справа налево.

К преимуществам двоичной системы счисления относят: представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво, возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации, двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Восьмеричная система счисления.

Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада)

Шестнадцатеричная система счисления.

Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр - латинскими буквами: 10-A, 11-B, 12-C, 13-D, 14-E, 15-F.

Для обозначения адресов расположения данных в памяти компьютера и других целей удобнее пользоваться не двоичным и не десятичным, а шестнадцатеричным представлением чисел. Также шестнадцатеричная система используется для записи информации в сокращенном виде Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада).

Таблица 3

0000	0	0100	4	1000	8	1100	C
0001	1	0101	5	1001	9	1101	D
0010	2	0110	6	1010	A	1110	E
0011	3	0111	7	1011	B	1111	F

Шестнадцатеричное число не может начинаться с буквы. В этом случае перед первой буквой числа дописывают цифру 0.

Преимущество этих систем в том, что легко осуществляется перевод в двоичную систему и обратно.

Правила перевода из одной системы счисления в другую.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:

N = a_npⁿ+a_n-1p^n-1+ ... +a₁p+a₀+a_-1p^-1+a_-2p^-2+ ...

здесь N - число, a_j - коэффициенты (цифры числа), p - основание системы счисления ( p>1).

Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

N = a_na_n-1 ... a₁a₀ . a_-1a_-2 ...

В этой последовательности точка отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Точка опускается, если нет отрицательных степеней (число целое).

Чем меньше основание системы счисления, тем больше разрядов требуется для записи того же числа. Наиболее громоздкой получается запись в системе с наименьшим возможным основанием -- двоичной. Но то, что удобно для компьютера, оказывается очень неудобным для человека. Можно было бы переводить их в десятеричную систему и обратно... Однако, этот перевод довольно трудоемкий. И вот какой нашли выход. Если взять две системы счисления, такие что основание одной будет степенью основания другой (их иногда называют родственными), перевод будет делаться очень быстро.