Підставляючи в ці рівняння , отримаємо:

; (9.22)

. (9.23)

Отже, довільні сталі інтегрування тадорівнюють відповідно куту повороту та прогину на початку координатта. Ці сталі прийнято називатигеометричними початковими параметрами. Підставляючи в рівняння (9.15) замість сталих інтегрування тапочаткові параметрита, отримаємо:

. (9.24)

Для випадку кількох моментів та сил, а також кількох ділянок розподіленого навантаження, рівняння для прогинів можна скласти у вигляді, рекомендованому М.Д.Полонським:

. (9.25)

Рівняння (9.25) зазвичай називають універсальним рівнянням пружної лінії.

Диференціюючи рівняння (9.25), дістаємо універсальне рівняння кутів повороту перерізів:

, (9.26)

У рівняннях (9.25), (9.26) прийняті такі позначення:  тип зовнішнього силового фактора (); показник ступеня, який отримується при інтегрування диференціального рівняння пружної лінії;  координата перерізу, у якому прикладена зосереджена сила або момент, або координата перерізу, у якому починається дія розподіленого навантаження. Відповідні величини показника ступеня та типи зовнішнього фактора наведені у таблиці 9.1.

Таблиця 9.1

Тип зовнішнього навантаження	Показник ступеня
Зовнішній момент	2
Зосереджена сила	3
Інтенсивність розподіленого навантаження	4
Тангенс кута нахилу дотичної до епюри навантаження	5

Знаки складових у рівняннях (9.25) і (9.26) визначаються знаком згинального моменту, який викликається відповідним силовим фактором.

Характерною особливістю методу початкових параметрів є те, що для визначення переміщень не треба складати та інтегрувати диференціальне рівняння зігнутої осі балки. Достатньо скласти універсальне рівняння пружної лінії (9.25), з умов на опорах знайти початкові параметри і знову скористатися універсальним рівнянням, щоб обчислити прогин у перерізі, що розглядується.

Розглянемо кілька прикладів визначення перемещень за методом початкових параметрів.

Приклад 9.9. Визначити прогин посередині прольоту балки, наведеної на рис.9.14, і кут повороту пререрізу С на лівому кінці балки. Матеріал балки  сталь з модулем пружності МПа. Балка є двутавром № 20 з моментом інерціїсм⁴.

Рис.9.14

Розв’язок:

1. Визначимо опорні реакції. Для цього складемо два рівняння рівноваги:

. Звідки кН;

. Звідки кН.

2. Вибираємо початок координат на правому кінці балки в точці В, вісь прогинів спрямована вгору, вісь ліворуч. Яким чином у данному випадку визначається вибір початку координат? Якщо вибрати початок координат на лівому кінці балки в перерізі С, то попередньо треба відшукати обидва початкових параметри, тому що ні кут повороту перерізу С, ні прогин в цьому перерізі завчасно невідомі. Для їх визначення потребується скласти систему з двох рівнянь і розв’язати її відносно невідомих початкових параметрів. Якщо ж вибрати початок координат на правому кінці балки в перерізі В, то відшукувати треба буде лише один початковий параметр – кут повороту перерізу В . Другий початковий параметр – прогин в перерізі В– визначати не треба, тому що він дорівнює нулеві з граничної умови на опорі В.

3. Разбиваємо балку на ділянки (Рис.9.14) і записуємо універсальне рівняння пружної лінії (9.25) для останньої ділянки:

(а)

4. З рівняння (а) визначаємо початковий параметр з умови, що прогин перерізу А прим дорівнює нулю:

.

Звідки:

.

5. Визначаємо прогин посередині прольоту балки при м. З огляду на те, що переріз посередині балки належить першій ділянці, викреслюємо з універсального рівняння всі члени, що належать другій та третій ділянкам. Отримаємо:

.

Підставляємо чисельні значення модуля пружності та моменту інерції в отриманий вираз. Маємо:

м =мм.

Знак “” означає, що напрім прогину не співпадає з напрямом осі .

6. Визначаємо кут повороту перерізу С. Для цього скристаємося виразом (9.26). Зважаючи на те, що переріз С належить третій ділянці, складемо рівняння для кута повороту для цієї ділянки:

. (б)