9.3. Диференціальні залежності при згинанні

Раніше, в Темі №5, були отримані диференціальні залежності між інтенсивністю розподіленого навантаження , поперечною силоюі згинальним моментом:

; ;. (9.8)

Крім того, були отримані диференціальні залежності між прогином і кутом повороту, прогином і згинальним моментом, кутом повороту перерізу і згинальним моментом:

; ;. (9.9)

Ці залежності, після деякого перетворення, можна розташувати послідовно: . (9.10)

З цих рівнянь видно, що, знаючи навантаження і тип опор балки, можна послідовним інтегруванням одержати величини,,,. З іншого боку, знаючи рівняння пружної лінії, можна шляхом послідовного диференціювання пофункціїодержати,,і. Для графічного зображення цих залежностей умовимося додатні значення всіх перерахованих величин відкладати вгору, а від’ємні – вниз; додатний напрямок осів правій системі координат приймемо вправо, поворот перерізу за ходом годинникової стрілки приймемо від’ємним, а проти – додатним. У лівій системі координат – навпаки.

Наведемо кілька прикладів побудови епюр розподілу поперечних сил, згинальних моментів, кутів повороту перерізів і прогинів.

Приклад 9.6. Побудувати якісний (без розрахунку) розподіл епюр поперечних сил, згинальних моментів, кутів повороту перерізів і прогинів, для балки, зображеної на рис.9.89.10.

Розв’язок:

При побудові епюр кутів повороту і прогинів варто дотримуватися деяких правил. Сформулюємо їх:

1. Оскільки епюра являє собою графік похідної від епюри кутів повороту, то ординати епюрипропорційні тангенсові кута нахилу дотичної до епюрі. У перерізах, де, дотична до кривоїповинна бути паралельною осі абсцис (Рис.9.8 переріз В та рис.9.9  перерізи А та В). Стрибку на епюрі моментів відповідає кутова точка (злам) на епюрі (Рис.9.8 – переріз А та рис.9.10 – переріз С).

Рис.9.8

Рис.9.9

Рис.9.10

2. Друга похідна від прогину

має знак моменту. Якщо момент додатний (стиснуті верхні волокна), то угнутість на епюрі буде звернена убік додатних прогинів(вгору). При від’ємному моментові угнутість параболи повернена униз. Оскільки ординати епюр згинальних моментів ми домовилися відкладати з боку стиснутих волокон, то угнутість епюри прогинів завжди повернута у той бік, з якого розташовані ординати епюри згинальних моментів.

3. Друга похідна кута від повороту

має знак поперчної сили. Якщо поперечна сила додатна, то опуклість на епюрі буде повернена униз (Рис.9.9, 9.10). При опуклість на епюрі спрямована в бік осі , тобто вгору (Рис.9.9). У перерізі, де поперечна силазмінює знак, на епюрі є точка перегину (Рис.9.9, 9.10).

4. Якщо згинальний момент дорівнює нулю на всій ділянці балки, то на цій ділянці епюра прямокутна, а епюрапрямолінійна, але, взагалі кажучи, похила.

5. На тих ділянках балки, де епюра змінюється за лінійним законом, епюра міняється за законом квадратної параболи, а епюра  за законом кривої третього порядку. Там, де епюра змінюється за законом квадратної параболи, епюра міняється за законом параболи третього порядку, а епюра  за законом параболи четвертого порядку.

6. На ділянках, де діє сталий момент, епюра прямолінійна та похила, а епюра прогинів змінюється за законом квадратної параболи.

7. Оскільки єпюра є графіком зміни уздовж балки тангенсів нахилу дотичних до пружної лінії, то можна стверджувати наступне:

а) на ділянках, де в напрямку осі прогинза абсолютною величиною зростає, кут нахилу епюри від’ємний. Навпаки, при зменшенні абсолютної величини прогину кути нахилу епюри додатні (Рис.9.89.10);

б) у перерізах, де , дотична до епюригоризонтальна, тобто в цьому перерізі на епюріспостерігається аналітичний максимум або мінімум (Рис.9.10).

Розглянемо ще кілька прикладів побудови епюр кутів повороту і прогинів.

Приклад 9.7. Яка з епюр кутів повороту відповідає наведеній на рис.9.11 епюрі зміни прогинів, що являє собою параболу четвертого порядку?

Рис.9.11

Розв’язок:

Варіант а) відпадає, тому що епюра кутів повороту може мінятися за лінійним законом лише в тому випадку, якщо епюра прогинівє квадратною параболою.

Варіант б) не підходить з тієї причини, що максимального значення прогин досягає в перерізі, у якому кут повороту дорівнює нулю. Такої відповідності в цьому варіанті немає.

Варіант в) не годиться, тому що на лівій частині епюри прогин убуває зліва направо при додатному тангенсі кута нахилу дотичної до кривої прогинів. У цьому варіанті немає відповідності між знаком збільшення прогину і знаком епюри кутів повороту.

Варіант г) підходить за декількома ознаками: по-перше, збігаються знаки збільшення прогину і знаки кута повороту на всій довжині ділянки. По-друге, екстремального значення прогин досягає в перерізі, у якому кут повороту дорівнює нулю. По-третє, у перерізах на лівому і правому кінцях ділянки, там, де прогин дорівнює нулю, дотична до кривої кутів повороту паралельна базисній лінії, що відповідає рівності нулю тангенса кута повороту в цих перерізах.

Таким чином, з чотирьох варіантів епюра зміни кутів повороту відповідає епюрі зміни прогинів в останньому варіанті.

Приклад 9.8. Яка з епюр прогинів відповідає наведеній на рис.9.12 епюрі згинальних моментів, якщо додатний напрямок осі спрямований вгору?

Розв’язок:

Варіант а) не підходить, тому що додатному згинальному моментові в обраній системі координат повинна відповідати додатна кривизна пружної лінії

балки. Такої відповідності тут немає.

Рис.9.12

Варіант б) не підходить з тієї причини, що зігнута вісь балки має кривизну того самого знаку на всій довжині ділянки, у той час як згинальний момент змінює знак уздовж ділянки.

Варіант в) не підходить з тієї самої причини.

Варіант г) підходить, тому що має місце відповідність знаків згинального моменту і знаків кривизни зігнутої осі на відповідних ділянках.