задачи / Документ Microsoft Word7

Симплекс-метод.

Оптимальный план можно записать так: x₂ = 3; x₃ = 7; x₅ = 2; F(X) = 3•3 + 0•7 + -2•2 = 5

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы. Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 3x₁ + 3x₂ + x₄ - 2x₅ при следующих условиях-ограничений. x₁ + 2x₂ + 4x₄=6 x₃ + 3x₄=7 2x₂ + 2x₄ + x₅=8 Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x₆; в 2-м равенстве вводим переменную x₇; в 3-м равенстве вводим переменную x₈; 1x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 4x₄ + 0x₅ + 1x₆ + 0x₇ + 0x₈ = 6 0x₁ + 0x₂ + 1x₃ + 3x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 1x₇ + 0x₈ = 7 0x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 2x₄ + 1x₅ + 0x₆ + 0x₇ + 1x₈ = 8 Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так: F(X) = 3x₁+3x₂+x₄-2x₅ - Mx₆ - Mx₇ - Mx₈ → max Из уравнений выражаем искусственные переменные: x₆ = 6-x₁-2x₂-4x₄ x₇ = 7-x₃-3x₄ x₈ = 8-2x₂-2x₄-x₅ которые подставим в целевую функцию: F(X) = (3+M)x₁+(3+4M)x₂+(M)x₃+(1+9M)x₄+(-2+M)x₅+(-21M) → max Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

1	2	0	4	0	1	0	0
0	0	1	3	0	0	1	0
0	2	0	2	1	0	0	1

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₆, x₇, x₈, Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,0,0,6,7,8)

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x6	6	1	2	0	4	0	1	0	0
x7	7	0	0	1	3	0	0	1	0
x8	8	0	2	0	2	1	0	0	1
F(X0)	-21M	-3-M	-3-4M	-M	-1-9M	2-M	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. Итерация №0. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₄, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i4 и из них выберем наименьшее: Следовательно, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min
x6	6	1	2	0	4	0	1	0	0
x7	7	0	0	1	3	0	0	1	0	21/3
x8	8	0	2	0	2	1	0	0	1	4
F(X1)	-21M	-3-M	-3-4M	-M	-1-9M	2-M	0	0	0	0

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x4	11/2	1/4	1/2	0	1	0	1/4	0	0
x7	21/2	-3/4	-11/2	1	0	0	-3/4	1	0
x8	5	-1/2	1	0	0	1	-1/2	0	1
F(X1)	11/2-71/2M	-23/4+11/4M	-21/2+M	-M	0	2-M	1/4+21/4M	0	0

Итерация №1. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i3 и из них выберем наименьшее: Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min
x4	11/2	1/4	1/2	0	1	0	1/4	0	0	-
x7	21/2	-3/4	-11/2	1	0	0	-3/4	1	0
x8	5	-1/2	1	0	0	1	-1/2	0	1	-
F(X2)	11/2-71/2M	-23/4+11/4M	-21/2+M	-M	0	2-M	1/4+21/4M	0	0	0

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x4	11/2	1/4	1/2	0	1	0	1/4	0	0
x3	21/2	-3/4	-11/2	1	0	0	-3/4	1	0
x8	5	-1/2	1	0	0	1	-1/2	0	1
F(X2)	11/2-5M	-23/4+M	-21/2-M	0	0	2-M	1/4+11/2M	M	0

Итерация №2. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2 и из них выберем наименьшее: Следовательно, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (¹/₂) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min
x4	11/2	1/4	0	1	0	1/4	0	0	3
x3	21/2	-3/4	-11/2	1	0	0	-3/4	1	0	-
x8	5	-1/2	1	0	0	1	-1/2	0	1	5
F(X3)	11/2-5M	-23/4+M	-21/2-M	0	0	2-M	1/4+11/2M	M	0	0

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x2	3	1/2	1	0	2	0	1/2	0	0
x3	7	0	0	1	3	0	0	1	0
x8	2	-1	0	0	-2	1	-1	0	1
F(X3)	9-2M	-11/2+M	0	0	5+2M	2-M	11/2+2M	M	0

Итерация №3. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₅, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i5 и из них выберем наименьшее: Следовательно, 3-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min
x2	3	1/2	1	0	2	0	1/2	0	0	-
x3	7	0	0	1	3	0	0	1	0	-
x8	2	-1	0	0	-2	1	-1	0	1	2
F(X4)	9-2M	-11/2+M	0	0	5+2M	2-M	11/2+2M	M	0	0

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x2	3	1/2	1	0	2	0	1/2	0	0
x3	7	0	0	1	3	0	0	1	0
x5	2	-1	0	0	-2	1	-1	0	1
F(X4)	5	1/2	0	0	9	0	31/2+M	M	-2+M

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x2	3	1/2	1	0	2	0	1/2	0	0
x3	7	0	0	1	3	0	0	1	0
x5	2	-1	0	0	-2	1	-1	0	1
F(X5)	5	1/2	0	0	9	0	31/2+M	M	-2+M

Оптимальный план можно записать так: x₂ = 3 x₃ = 7 x₅ = 2 F(X) = 3•3 + 0•7 + -2•2 = 5