задачи / Документ Microsoft Word6

Симплекс-метод. Вектор результатов X = (11, 0, 0, 0, 1¹/₂, 0)^T Значение целевой функции F(X) = 33 Решим прямую задачу линейного программирования модифицированным симплексным методом. Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 3x₁ + 2x₃ - 3x₄ при следующих условиях-ограничений. x₁ + x₄ - 4x₅=5 x₂ - 2x₄ + 2x₅ + 2x₆=3 - 4x₅ - x₆=6 Решение состоит из двух этапов. Первый этап - введение искусственного базиса (единичной матрицы) и поиск первого опорного плана (без учета целевой функции). Второй этап - поиск оптимального решения на основе целевой функции. Первый этап. Для нахождения начальной допустимой базы воспользуемся методом искусственного базиса. Имеем: Матрица коэффициентов A = a_ij

1	0	0	1	-4	0	1	0	0
0	1	0	-2	2	2	0	1	0
0	0	0	0	-4	-1	0	0	1

Матрица b.

b =

5 3 6

Итерация №1. Базисные переменные: = (7, 8, 9)

B_7,8,9 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Матрица c. c = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1) c_B(7,8,9) = (1, 1, 1) c_{N(1,2,3,4,5,6)} = (0, 0, 0, 0, 0, 0)

N_ =

1 0 0 1 -4 0 0 1 0 -2 2 2 0 0 0 0 -4 -1

Вычисляем: Матрицу B^-1 вычисляем через алгебраические дополнения.

B-1 = 1/1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

u = c_BB^-1 = (1, 1, 1)

b*_7,8,9 = B^-1 b =

5 3 6

Умножаем вектор u на матрицу N: uN = (1, 1, 0, -1, -6, 1) c^* = c_N - uN = (-1, -1, 0, 1, 6, -1) Откуда номер направляющего столбца s = 1 (индекс максимального по модулю значения из отрицательных элементов).

(a_11 ... a_m1) =

1 0 0

a^* = B_-1 (a₁₁,...,a_m1)^T = (1, 0, 0)^T min(5:1 = 5;-;-;) = 5 Откуда номер направляющей строки r = 1 (индекс минимального значения). Итерация №2. Базисные переменные: = (1, 8, 9)

B_1,8,9 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Матрица c. c = (-1, -1, 0, 1, 6, -1, 0, 0, 0) min(-;3:1 = 3;-;) = 3 Итерация №3. Базисные переменные: = (1, 2, 9)

B_1,2,9 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Матрица c. c = (0, -1, 0, 2, 2, -1, 1, 0, 0) Вектор С не содержит отрицательных элементов. Первый этап симплекс-метода завершен. Второй этап. Удаляем столбцы с искусственными переменными. Заменим вектор оценок С на целевую функцию. Выразим базисные переменные: x₁ = 5+x₄-4x₅ x₂ = 3-2x₄+2x₅+2x₆ которые подставим в целевую функцию: F(X) = 15+2x₃-6x₄+12x₅ Имеем: Матрица коэффициентов A = a_ij

A =

1 0 0 1 -4 0 0 1 0 -2 2 2 0 0 0 0 -4 -1

Матрица b.

b =

5 3 6

Итерация №1. Базисные переменные: = (1, 2, 9)

B_1,2,9 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Матрица c. c = (0, 0, -2, 6, -12, 0) c_B(1,2,9) = (0, 0, 0) c_N(3,4,5,6) = (-2, 6, -12, 0, 0, 0)

N_ =

0 1 -4 0 -2 2 0 0 -4

Вычисляем: Матрицу B^-1 вычисляем через алгебраические дополнения.

B-1 = 1/1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

u = c_BB^-1 = (0, 0, 0)

b*_1,2,9 = B^-1 b =

5 3 6

Умножаем вектор u на матрицу N: uN = (0, 0, 0, 0, 0, 0) c^* = c_N - uN = (-2, 6, -12, 0, 0, 0) Откуда номер направляющего столбца s = 3 (индекс максимального по модулю значения из отрицательных элементов).

(a_13 ... a_m3) =

-4 2 -4

a^* = B_-1 (a₁₃,...,a_m3)^T = (-4, 0, 0)^T min(-;3:2 = 1¹/₂;-;) = 1¹/₂ Откуда номер направляющей строки r = 2 (индекс минимального значения). Итерация №2. Базисные переменные: = (1, 5, 9)

B_1,5,9 =

1 -4 0 0 2 0 0 -4 1

Матрица c. c = (0, 0, -2, 6, -12, 0) min(-;-;-;) = 0 Выводимую переменную r найти невозможно. Прерываем процесс поиска первого опорного плана. Вектор результатов X = (11, 0, 0, 0, 1¹/₂, 0)^T Значение целевой функции F(X) = bc = 33