задачи / 8

Симплекс-метод. Copyright © Semestr.RU Решим прямую задачу линейного программирования модифицированным симплексным методом. Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 4x₁ + 4x₂ + x₃ при следующих условиях-ограничений. 4x₁ + 3x₂ + 2x₃ + x₄<=7 - 4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 2x₄=40 x₁ - 4x₂ + 2x₃≥0 Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). 4x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 1x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 7 -4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 2x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 40 1x₁-4x₂ + 2x₃ + 0x₄ + 0x₅-1x₆ = 0 Решение состоит из двух этапов. Первый этап - введение искусственного базиса (единичной матрицы) и поиск первого опорного плана (без учета целевой функции). Второй этап - поиск оптимального решения на основе целевой функции. Первый этап. Для нахождения начальной допустимой базы воспользуемся методом искусственного базиса. Имеем: Матрица коэффициентов A = a_ij

4	3	2	1	1	0	0	0
-4	2	3	2	0	0	1	0
1	-4	2	0	0	-1	0	1

Матрица b.

b =

7 40 0

Итерация №1. Базисные переменные: = (5, 7, 8)

B_5,7,8 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Матрица c. c = (0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, -1) c_B(5,7,8) = (0, -1, -1) c_N(1,2,3,4,6) = (0, 0, 0, 0, 0)

N_ =

4 3 2 1 0 -4 2 3 2 0 1 -4 2 0 -1

Вычисляем: Матрицу B^-1 вычисляем через алгебраические дополнения.

B-1 = 1/1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

u = c_BB^-1 = (0, -1, -1)

b*_5,7,8 = B^-1 b =

7 40 0

Умножаем вектор u на матрицу N: uN = (3, 2, -5, -2, 1) c^* = c_N - uN = (-3, -2, 5, 2, -1) Откуда номер направляющего столбца s = 3 (индекс максимального значения из положительных элементов).

(a_13 ... a_m3) =

2 3 2

a^* = B_-1 (a₁₃,...,a_m3)^T = (2, 0, 0)^T min(7:2 = 3¹/₂;40:3 = 13¹/₃;0:2 = 0;) = 0 Откуда номер направляющей строки r = 3 (индекс минимального значения). Итерация №2. Базисные переменные: = (5, 7, 3)

B_5,7,3 =

1 0 2 0 1 3 0 0 2

Матрица c. c = (-3, -2, 5, 2, 0, -1, 0, 0) min(7:7 = 1;40:8 = 5;0:-2 = 0;) = 0 Итерация №3. Базисные переменные: = (5, 7, 2)

B_5,7,2 =

1 0 3 0 1 2 0 0 -4

Матрица c. c = (-5¹/₂, 8, 0, 2, 0, 1¹/₂, 0, -2¹/₂) min(7:3¹/₂ = 2;40:4 = 10;0:^-1/₂ = 0;) = 0 Итерация №4. Базисные переменные: = (5, 7, 3)

B_5,7,3 =

1 0 2 0 1 3 0 0 2

Матрица c. c = (-3¹/₂, 0, 4, 2, 0, ^-1/₂, 0, ^-1/₂) min(7:7 = 1;40:8 = 5;0:-2 = 0;) = 0 Итерация №5. Базисные переменные: = (5, 7, 2)

B_5,7,2 =

1 0 3 0 1 2 0 0 -4

Матрица c. c = (-5¹/₂, 8, 0, 2, 0, 1¹/₂, 0, -2¹/₂) min(7:3¹/₂ = 2;40:4 = 10;0:^-1/₂ = 0;) = 0 Итерация №6. Базисные переменные: = (5, 7, 3)

B_5,7,3 =

1 0 2 0 1 3 0 0 2

Матрица c. c = (-3¹/₂, 0, 4, 2, 0, ^-1/₂, 0, ^-1/₂) min(7:7 = 1;40:8 = 5;0:-2 = 0;) = 0 Итерация №7. Базисные переменные: = (5, 7, 2)

B_5,7,2 =

1 0 3 0 1 2 0 0 -4

Матрица c. c = (-5¹/₂, 8, 0, 2, 0, 1¹/₂, 0, -2¹/₂) min(7:3¹/₂ = 2;40:4 = 10;0:^-1/₂ = 0;) = 0 Итерация №8. Базисные переменные: = (5, 7, 3)

B_5,7,3 =

1 0 2 0 1 3 0 0 2

Матрица c. c = (-3¹/₂, 0, 4, 2, 0, ^-1/₂, 0, ^-1/₂) min(7:7 = 1;40:8 = 5;0:-2 = 0;) = 0 Итерация №9. Базисные переменные: = (5, 7, 2)

B_5,7,2 =

1 0 3 0 1 2 0 0 -4

Матрица c. c = (-5¹/₂, 8, 0, 2, 0, 1¹/₂, 0, -2¹/₂) min(7:3¹/₂ = 2;40:4 = 10;0:^-1/₂ = 0;) = 0 Итерация №10. Базисные переменные: = (5, 7, 3)

B_5,7,3 =

1 0 2 0 1 3 0 0 2

Матрица c. c = (-3¹/₂, 0, 4, 2, 0, ^-1/₂, 0, ^-1/₂) min(7:7 = 1;40:8 = 5;0:-2 = 0;) = 0 Итерация №11. Базисные переменные: = (5, 7, 2)

B_5,7,2 =

1 0 3 0 1 2 0 0 -4

Матрица c. c = (-5¹/₂, 8, 0, 2, 0, 1¹/₂, 0, -2¹/₂) min(7:3¹/₂ = 2;40:4 = 10;0:^-1/₂ = 0;) = 0 Итерация №12. Базисные переменные: = (5, 7, 3)

B_5,7,3 =

1 0 2 0 1 3 0 0 2

Матрица c. c = (-3¹/₂, 0, 4, 2, 0, ^-1/₂, 0, ^-1/₂) min(7:7 = 1;40:8 = 5;0:-2 = 0;) = 0 Итерация №13. Базисные переменные: = (5, 7, 2)

B_5,7,2 =

1 0 3 0 1 2 0 0 -4

Матрица c. c = (-5¹/₂, 8, 0, 2, 0, 1¹/₂, 0, -2¹/₂) min(7:3¹/₂ = 2;40:4 = 10;0:^-1/₂ = 0;) = 0 Итерация №14. Базисные переменные: = (5, 7, 3)

B_5,7,3 =

1 0 2 0 1 3 0 0 2

Матрица c. c = (-3¹/₂, 0, 4, 2, 0, ^-1/₂, 0, ^-1/₂) min(7:7 = 1;40:8 = 5;0:-2 = 0;) = 0 Итерация №15. Базисные переменные: = (5, 7, 2)

B_5,7,2 =

1 0 3 0 1 2 0 0 -4

Матрица c. c = (-5¹/₂, 8, 0, 2, 0, 1¹/₂, 0, -2¹/₂) min(7:3¹/₂ = 2;40:4 = 10;0:^-1/₂ = 0;) = 0 Итерация №16. Базисные переменные: = (5, 7, 3)

B_5,7,3 =

1 0 2 0 1 3 0 0 2

Матрица c. c = (-3¹/₂, 0, 4, 2, 0, ^-1/₂, 0, ^-1/₂) min(7:7 = 1;40:8 = 5;0:-2 = 0;) = 0 Итерация №17. Базисные переменные: = (5, 7, 2)

B_5,7,2 =

1 0 3 0 1 2 0 0 -4

Матрица c. c = (-5¹/₂, 8, 0, 2, 0, 1¹/₂, 0, -2¹/₂) min(7:3¹/₂ = 2;40:4 = 10;0:^-1/₂ = 0;) = 0 Итерация №18. Базисные переменные: = (5, 7, 3)

B_5,7,3 =

1 0 2 0 1 3 0 0 2

Матрица c. c = (-3¹/₂, 0, 4, 2, 0, ^-1/₂, 0, ^-1/₂) min(7:7 = 1;40:8 = 5;0:-2 = 0;) = 0 Итерация №19. Базисные переменные: = (5, 7, 2)

B_5,7,2 =

1 0 3 0 1 2 0 0 -4

Матрица c. c = (-5¹/₂, 8, 0, 2, 0, 1¹/₂, 0, -2¹/₂) min(7:3¹/₂ = 2;40:4 = 10;0:^-1/₂ = 0;) = 0 Второй этап. Удаляем столбцы с искусственными переменными. Заменим вектор оценок С на целевую функцию. Выразим базисные переменные: x₃ = 0^-1/₄x₁+x₂+¹/₄x₆ которые подставим в целевую функцию: F(X) = 0+¹⁷/₄x₁+3x₂^-1/₄x₆ Имеем: Матрица коэффициентов A = a_ij

A =

4 3 2 1 1 0 -4 2 3 2 0 0 1 -4 2 0 0 -1

Матрица b.

b =

7 40 0

Итерация №1. Базисные переменные: = (5, 7, 3)

B_5,7,3 =

1 0 2 0 1 3 0 0 2

Матрица c. c = (-4¹/₄, -3, 0, 0, 0, ¹/₄) c_B(5,7,3) = (0, 0, 0) c_N(1,2,4,6) = (-4¹/₄, -3, 0, ¹/₄, 0)

N_ =

4 3 1 -4 2 2 1 -4 0

Вычисляем: Матрицу B^-1 вычисляем через алгебраические дополнения.

B-1 = 1/2

2 0 -2 0 2 -3 0 0 1

u = c_BB^-1 = (0, 0, 0)

b*_5,7,3 = B^-1 b =

7 40 0

Умножаем вектор u на матрицу N: uN = (0, 0, 0, 0, 0) c^* = c_N - uN = (-4¹/₄, -3, 0, ¹/₄, 0) Откуда номер направляющего столбца s = 4 (индекс максимального значения из положительных элементов).

(a_14 ... a_m4) =

0 0 -1

a^* = B_-1 (a₁₄,...,a_m4)^T = (1, 0, 0)^T min(7:1 = 7;40:1¹/₂ = 26²/₃;0:^-1/₂ = 0;) = 0 Откуда номер направляющей строки r = 3 (индекс минимального значения). Итерация №2. Базисные переменные: = (5, 7, 6)

B_5,7,6 =

1 0 0 0 1 0 0 0 -1

Матрица c. c = (-4¹/₄, -3, 0, 0, 0, ¹/₄) min(7:2 = 3¹/₂;40:3 = 13¹/₃;0:-2 = 0;) = 0 Итерация №3. Базисные переменные: = (5, 7, 3)

B_5,7,3 =

1 0 2 0 1 3 0 0 2

Матрица c. c = (-4, -4, ¹/₂, 0, 0, 0) min(7:1 = 7;40:1¹/₂ = 26²/₃;0:^-1/₂ = 0;) = 0 Итерация №4. Базисные переменные: = (5, 7, 6)

B_5,7,6 =

1 0 0 0 1 0 0 0 -1

Матрица c. c = (-4¹/₄, -3, 0, 0, 0, ¹/₄) min(7:2 = 3¹/₂;40:3 = 13¹/₃;0:-2 = 0;) = 0 Итерация №5. Базисные переменные: = (5, 7, 3)

B_5,7,3 =

1 0 2 0 1 3 0 0 2

Матрица c. c = (-4, -4, ¹/₂, 0, 0, 0) min(7:1 = 7;40:1¹/₂ = 26²/₃;0:^-1/₂ = 0;) = 0 Итерация №6. Базисные переменные: = (5, 7, 6)

B_5,7,6 =

1 0 0 0 1 0 0 0 -1

Матрица c. c = (-4¹/₄, -3, 0, 0, 0, ¹/₄) min(7:2 = 3¹/₂;40:3 = 13¹/₃;0:-2 = 0;) = 0 Итерация №7. Базисные переменные: = (5, 7, 3)

B_5,7,3 =

1 0 2 0 1 3 0 0 2

Матрица c. c = (-4, -4, ¹/₂, 0, 0, 0) min(7:1 = 7;40:1¹/₂ = 26²/₃;0:^-1/₂ = 0;) = 0 Итерация №8. Базисные переменные: = (5, 7, 6)

B_5,7,6 =

1 0 0 0 1 0 0 0 -1