Інтел системи лаба 3 і питання до модуля / Логика-01

-------.

КОМБИНАЦИИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Два любых высказывания можно объединить в одно с помощью двух основных операций: конъюнкции — логического И, обозначаемого AND, и дизъюнкции — логического ИЛИ, обозначаемого OR.

Высказывание, полученное с помощью конъюнкции, принимает значение истина только тогда, когда значения обоих входящих в него высказываний истинны.

Во всех остальных случаях конъюнкция ложна.

Дизъюнкция принимает значение лжи только тогда, когда оба входящих в нее высказывания ложны. В остальных случаях дизъюнкция равна истине.

В логике используется также другая операция, напоминающая дизъюнкцию, которая называется ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (XOR).

Высказывание, получаемое с помощью данной операции, принимает значение истина при условии, что одно, и только одно, из входящих в него высказываний имеет значение истины.

В разговорной речи такие высказывания часто объединяются конструкцией «или

..., или ...», например: «Или я пойду на футбольный матч, или будут смотреть его прямую трансляцию по телевизору». Очевидно, что истинность одной составляющей

исключает истинность другой.

--------

Другая важная операция, используемая в логике, — это отрицание, логическое НЕ,

обозначаемое NOT. Например, из высказывания «Сегодня идет снег» можно с помощью отрицания получить «Сегодня не идет снег».

Представление значений сложных высказываний, для каждой возможной

комбинации значений их составляющих осуществляется с помощью таблиц истинности.

Например, в табл. 4.1 одновременно представлены четыре таблицы истинности

для операций И (AND), ИЛИ (OR), исключающее ИЛИ (XOR) и НЕ (NOT).

В таблице буквами Р и Q обозначаются любые два логических высказывания.

Т а б л и ц а 4.1

Истинность операций AND (И), OR (ИЛИ), XOR

(Исключающее ИЛИ) и NOT (HE)

-------

Т а б л и ц а 4.2

Рассмотрим логические функции, представленные в табл. 4.2.

Как видно из табл. 4 . 2 , высказывание Р A N D N O T P (Р И НЕ Р) всегда принимает значение ложь, тогда как высказывание Р OR NOT Р (Р ИЛИ НЕ Р), наоборот, всегда имеет значение истина.

Высказывание, всегда имеющее значение истина, называется тавтологией.

Высказывание с постоянным значением ложь называется противоречием.

Следует учитывать приоритеты логических операций: сначала выполняется отрицание (NOT), затем конъюнкция (AND) и, наконец, дизъюнкция (OR).

Изменить порядок выполнения операций можно с помощью скобок: действия в скобках производятся в первую очередь.

В том, что результат зависит от порядка выполнения операций, можно убедиться, сравнив, например, таблицы истинности для высказываний NOT P AND Q

и NOT (P AND Q).

-------

Важно, однако помнить. Не все предложения естественного языка могут служить логическими высказываниями.

Пример. О фразе «Это предложение ложно» нельзя сказать, что она имеет значение истина или ложь.

Следовательно, данная фраза не является логическим высказыванием.

-------

-------

БУЛЕВА АЛГЕБРА

Английский математик Джордж Буль (1815—1864) сформулировал правила для

вычисления значений комбинированных логических высказываний и представил их в символьной форме. Основными операциями булевой алгебры являются операции

Т а б л и ц а 4.3

AND, OR и NOT от двоичных переменных, обозначаемых буквами латинского алфавита.

Из основных свойств указанных операций, иллюстрируемых табл. 4.1 и 4.2, можно вывести следующие три правила

---------

-------

В табл. 4.3 приведены таблицы истинности, позволяющие проверить правила

двойного отрицания и идемпотентности.

Предлагается построить таблицу для проверки правила поглощения в качестве упражнения.

Одним из основных принципов булевой алгебры является принцип двойственности, в соответствии с которым для каждого правила этой алгебры существует другое, двойственное ему, получающееся из исходного путем

механической замены в нем операций AND на OR, OR на AND, а также констант Т на F и наоборот.

Приведенные ниже основные свойства булевой алгебры сгруппированы согласно этому принципу:

---------

---------

Операция, соответствующая высказываниям типа «Если Р, то. Q», называется логическим следованием, или импликацией, и обозначается Р IMPLIES Q.

В логике есть другая операция, напоминающая импликацию и задаваемая высказываниями «Р тогда и только тогда, когда Q» или «Для Р необходимо и достаточно Q». Эта операция называется логическим тождеством и обозначается

IFF.

Таблицы истинности для обеих рассмотренных операций представлені в табл. 4.4.

ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ

До настоящего времени не использовались символы при записи высказываний.

Однако в классической логике, как и в булевой алгебре, существуют соответствующие правила символьной записи высказываний, позволяющие представлять логические высказывания в стандартной форме. В табл. 4.5 приведены наиболее часто используемые в булевой алгебре и в логике символьные обозначения логических операций.

-------

Аналогично, операция , обозначающая высказывание НЕ (А ИЛИ В),

обычно называется ИЛИ-НЕ (NOR). Таблицы истинности операций NAND и NOR приводятся в табл. 4.6.

-------

-------

Упражнение 4.1

Запишите множества истинности для следующих функций: a ) NAND; б) NO R;

в) XOR; г) А· В; д) ~ А и е) А → В.

Существует всего 16 различных способов заполнения таблиц истинности

логических функций от двух переменных.

В табл. 4.8 представлены все функции указанного вида от переменных р и q.

Следует отметить - любая логическая функция от произвольного числа переменных может быть представлена в виде комбинации функций от двух переменных.

Запись р означает: «высказывание р — истинно», а — «высказывание р — ложно».

--------

Покажем, как ищется символьная запись для функций, имеющих множества истинности, содержащие по одному элементу.

Рассмотрим функцию h из табл. 4.8.

Высказывание, соответствующее данной функции, истинно только тогда, когда р и q одновременно равны Т, поэтому функцию можно быть записана как h = р q

или в булевой форме:

Высказывание, соответствующее функции О, истинно, когда р и q одновременно

ложны. Поэтому или в булевой форме:

Высказывание О не совпадает с

----------

-----------

Рассмотрим теперь четыре функции от двух переменных, принимающих на одной комбинации значений р и q значение не Т как в рассмотренных выше случаях, a F.

Эти функции обозначены в табл. 4.8 через Ь, с, е и i.

В данном случае удобнее сначала искать выражение для соответствующих противоположных функций, равных Т при тех входных комбинациях, при которых исходные функции равны F, а затем с помощью отрицания этих функций получить

искомую функцию.

Так, например, функция i равна F при

Тогда