Лабораторная работа № 1-07

ИЗУЧЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА

ОТ РАСПОЛОЖЕНИЯ ОСИ ВРАЩЕНИЯ

Цель работы – измерение моментов инерции тел и экспериментальная проверка теорема Штейнера.

Приборы и принадлежности : трифилярный подвес, набор исследуемых тел, штангенциркуль, секундомер.

Описание установки и вывод рабочей формулы :

Инерциальные свойства тел при вращательном движении характеризует величина, называемая моментом инерции J.

Моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы относительно осей, проходящих через их центр симметрии, могут быть вычислены.

Моменты инерции J тела массой m относительно произвольной оси определяется по теореме Штейнера:

J = J_c + md², (7.1)

где J_c – момент инерции тела относительно оси, параллельной данной оси и проходящей через центр масс тела; d – расстояние между осями.

Чтобы убедиться в выполнении формулы (7.1), определим опытным путём момент инерции J_тела и сравним эту величину с вычисленной по формуле (7.1). Для определения момента инерции здесь используется метод трифилярного подвеса, который изложен в работе № 1–06. Этот метод является экспериментальным и не накладывает никаких ограничений на формы и размеры тел. В основу метода положено свойства аддитивности момента инерции, т.е. тот факт, что момент инерции системы тел равен сумме моментов инерции тел, составляющих эту систему, относительно одной и той же оси.

Установка, используемая для определения момента инерции, представляет собой два параллельных горизонтально расположенных диска, связанных тремя нитями, как показано на рис. 7.1. Верхний диск радиусом r закреплён неподвижно. Нижний диск радиусом R подвешен на трёх симметрично расположенных нитях длиной l . Такое устройство называется трифилярным подвесом.

При повороте нижнего диска (платформы) на некоторый угол вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к плоскости платформы, центр масс платформы поднимается на высоту Н относительно первоначального положения. Платформа приобретает при этом запас потенциальной энергии U = mgH , где m – масса платформы. Если платформу отпустить, то она начнёт совершать гармонические крутильные колебания, период которых зависит от момента инерции платформы. Для того, чтобы получить формулу, связывающую момент инерции платформы с периодом её колебаний, воспользуемся законом сохранения энергии:

(7.2)

где J – момент инерции платформы относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс платформы; ω_max – угловая скорость вращения платформы в момент прохождения ею положения равновесия (в нижней точке).

Из формулы (7.2) можно получить выражение для момента инерции платформы (см. лаб. работу № 1-06):

(7.3)

где m – масса исследуемого тела или системы тел; g – ускорение свободного падения; r и R – радиусы верхней и нижней платформ; l – длина нитей; T – период крутильных колебаний.

Формула (7.3) является рабочей для определения момента инерции. Из неё следует, что при фиксированных значениях величин R, r и l момент инерции J определяется как величиной массы m, так и величиной периода Т. Период, в свою очередь, зависит также и от расположения этой массы относительно оси вращения.

Момент инерции пустой платформы J₀ можно рассчитать, если в формулу (7.3) подставить её массу m₀ и измеренное значение её периода колебаний T₀ . Если на платформу положить тело, момент инерции которого мы ищем, и измерить период колебаний Т нагруженной платформы, то формула (7.3) позволит вычислить суммарный момент инерции J тела и платформы (масса m в этой формуле теперь равна сумме масс тела и платформы). Момент инерции тела J_тела будет равен разности измеренных моментов инерции нагруженной J и пустой J₀ платформы:

(7.4)

Для проверки теоремы Штейнера в качестве исследуемого тела возьмём однородный диск и определим указанным выше способом момент инерции этого диска относительно оси, касательной к его боковой поверхности. Для этого расположим на нижней платформе два одинаковых диска так, чтобы они касались друг друга в центре платформы, как показано на рис. 7.2.

Рис. 7.2

Измерив момент инерции платформы с дисками J_сум , можно найти момент инерции одного из них. Для этого разность моментов инерции J_сум и J₀ следует разделить на два:

(7.5)

Порядок выполнения работы :

1. Определить период колебаний Т₀ пустой платформы. Для этого повернуть её на угол 5 – 6⁰ относительно вертикальной оси и отпустить. С помощью секундомера измерить время t₀ n полных колебаний и по формуле вычислить период колебаний ( n взять равным 30 – 50)

2. Поместить один из дисков массой m₁ на платформу так, чтобы их центры совпадали. Измерив время t₁ n полных колебаний нагруженной платформы, рассчитать период колебаний .

3. Поместить оба диска массой m₁ на платформу так, чтобы они касались друг друга в центре платформы (см. рис. 7.2). Измерив время t₂ n колебаний, определить период колебаний платформы с двумя дисками

4. Измерить с помощью штангенциркуля толщину нижней платформы h в нескольких местах и найти её среднее значение h_cp.

5. Все измеренные величины, а также параметры установки, указанные на рабочем месте, занести в табл. 7.1.

6. Вычислить массу пустой платформы m₀ по формуле m₀=ρπR²h_cp, где ρ – плотность материала платформы.

7. Рассчитать момент инерции пустой платформы J₀ по формуле:

8. Рассчитать момент инерции J²_диск одного диска массой m₁ в случае, когда ось вращения проходит через его центр масс:

9. Вычислить момент инерции J_диск одного диска массой m₁ в случае, когда ось вращения находится на расстоянии d от его центра масс (в нашем случае d равно радиусы диска):

I_диск=

10. Вычислить величину по теореме Штейнера :

и сравнить её с экспериментальным значением, найденным в п. 9.

11. Проанализировать полученные результаты и сделать выводы .

Ход роботы:

1. t₀ = 54c 2. t₁ = 41c 3. t₂ = 35c 4. m_o = 0.368 кг

n = 30 n = 30 n = 30 m₁ = 0.363 кг

T₀ = 1.8c T₁ = 1.36c T₂ = 1.16c m₂ = 0.354 кг

d = 60 мм = 0.06 м ; h_ср = 1,3 мм ; R = 0.19 м , r = 0.09 м ; l = 0.85 м

Таблица 7.1

t0, c	t1, c	t2, c	n,	T0, c	T1, c	T2, c	R, м	r, м	l, м	d, м
54,27	39,22	53,65	30	1,809	1,307	1,127	0,178	0,089	0,830	0,270

Вывод : при выполнении даной работы я измерил момент инерцеи тел методом крутильных колебаний с помощью трифелярного подвеса , момент инерции подвеса я вычислил в случаи когда ось вращения находитя на растоянии d от его центра масс и проверил теорему Штейнера . Получил следующий результат Iдиска = (1,000,02)*10-3 кг*м2 , относительная погрешность измерений = 2,3% . Наименее точными измеренными велечинами есть радиус шкива и времяя .