Лабораторная работа № 1-06

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА

МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы : определение момента инерции тела методом крутильных колебаний.

Приборы и принадлежности : трифилярный подвес , секундомер штангенциркуль , исследуемое тело.

Описание экспериментальной установки

и вывод рабочей формулы

Момент инерции тела является мерой его инертности при вращательном движении.

О дним из методов экспериментального определения момента инерции твёрдого тела является метод крутильных колебаний с использованием трифилярного подвеса. Трифилярный подвес представляет собой круглую платформу Р, подвешенную на трёх симметрично расположенных нитях, закреплённых у краёв платформы, как показано на рис. 6.1. Наверху эти нити также симметрично закреплены на неподвижном диске Р’ несколько меньшего радиуса, чем радиус платформы Р.

Рис. 6.1

Если повернуть нижнюю платформу Р вокруг вертикальной оси на небольшой угол, возникает момент сил, стремящийся вернуть её в положение равновесия. В результате платформа начнёт совершать гармонические крутильные колебания относительно вертикальной оси, перпендикулярной её плоскости и проходящей через её центр. Центр тяжести платформы при этом будет перемещаться вдоль оси вращения, периодически поднимаясь и опускаясь.

Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии для колеблющейся платформы можно написать следующее уравнение:

(6.1)

где h – высота поднятия платформы; J – момент инерции платформы; ω – угловая скорость её вращения в нижней точке в момент прохождения ею положения равновесия.

Из формулы (6.1) можно найти момент инерции J. Для этого выразим h и ω через параметры установки: длину нити l , радиус платформ R и r (см. рис. 6.1), период колебания платформы Т.

При повороте нижней платформы на угол α₀ её центр тяжести поднимется на высоту h=h₁-h₂ (см. рис. 6.1), где h₁ – расстояние между нижней и верхней платформами в положении равновесия, h₂ – расстояние между платформами после поворота на угол α₀.

Представим h в виде :

(6.2)

Из рис. 6.1 видно, что Следовательно Так как , то Тогда и из формулы (6.2) получим:

Вследствие малости угла α₀ и формула для h принимает вид:

(6.3)

Зависимость угла поворота платформы от времени выражается формулой

где α₀ – начальный угол поворота; Т – период крутильных колебаний платформы.

Угловая скорость при таком движении равна производной по времени от угла поворота:

(6.4)

где

Подставляя h из формулы (6.3) и ω_max из формулы (6.4) в уравнение (6.1), получим выражение для момента инерции платформы:

(6.5)

Для определения момента инерции тела воспользуемся свойством адаптивности момента инерции, которое состоит в том, что момент инерции системы тел относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции каждого из тел относительно этой же оси.

Чтобы найти момент инерции тела, следует определить суммарный момент инерции платформы J , нагруженной телом, и момент инерции пустой платформы J₀. Их разность и будет равна моменту инерции тела J_т:

(6.6)

Порядок выполнения работы

1. Измерить штангенциркулем в нескольких местах толщину d нижней платформы и определить её среднее значение d_ср.

2. Повернуть платформу на небольшой угол (5-6) и отпустить её, с помощью секундомера измерить время t₀ N её полных колебаний ().

3. Вычислить период колебаний:

4. Поместить в центр платформы исследуемое тело известной массы и определить период крутильных колебаний Т платформы с телом, повторив пп. 2 и 3.

5. Найти массу пустой платформы m₀ по формуле , где ρ – плотность материала платформы (указана на установке).

6. Результаты измерений и значения параметров, указанные на установке, занести в табл. 6.1.

7. По формуле (6.5) вычислить момент инерции пустой платформы

8. Вычислить момент инерции платформы с телом:

9. Найти момент инерции тела как разность моментов инерции нагруженной и пустой платформ:

10. Найти относительную погрешность определения моментов инерции , воспользовавшись методом логарифмического дифференцирования (см. разд. 1 настоящего пособия).

11. Проанализировать полученные результаты и сделать выводы.

Ход роботы:

Таблица 6.1

№ п/п	dср, м	Rср, м	r, м	l, м	m0, кг	N	t0, c	T0, c	J0, кг·м2	t, c	T, c	J, кг·м2	JT, кг·м2
1	0,0012	0,178	0,089	0,083	0,373	20	41	2,05	7,4	31	1,550	7,7	0,3
2	0,0012	0,178	0,089	0,083	0,373	20	40,82	2,04	7,3	30,5	1,525	7,5	0,2
3	0,0012	0,178	0,089	0,083	0,373	20	39,98	1,99	7,2	30,38	1,519	7,6	0,4
4	0,0012	0,178	0,089	0,083	0,373	20	40,99	2,01	7,4	30,95	1,550	7,7	0,3

Вывод : в этой лабораторной роботе я научился определять момент инерции тела методом крутильных колебаний . Яполучил результат : . Относительная погрешность измерений =2,3% обусловляла наименние точных измерений велечин радиуса шкива и времени .