Міністерство освіти і науки України

Житомирський державний технологічний університет

Кафедра фізики

Група БМ-6

Лабораторна робота №33

„Додавання взаємно перпендикулярних и гармонічних коливань”

Виконав: Позняк А.М.

Перевірив: Салогуб В.А.

2004

Мета роботи – засвоїти метод градуювання звукового генератора за допомогою складання взаємно перпендикулярних коливань.

Прилади та пристрої – електронний осцилограф, звуковий генератор, генератор стандартних сигналів.

Короткі теоретичні відомості

Частоту невідомого гармонічного коливання часто визначають методом фігур Ліссажу. Для цього до досліджуваного коливання додаються взаємно перпендикулярні коливання відомої частоти. У загальному випадку в результаті додавання отримують криві складної форми, що називаються фігурами Ліссажу, за видом яких можна визначити частоту досліджуваної напруги. В цій роботі на пластини вертикального відхилення електронного осцилографа подається досліджувана напруга від джерела коливань звукової частоти, а на пластини горизонтального відхилення - напруга від генератора стандартних сигналів. Завдяки цьому електронний пучок одночасно коливається у двох взаємно перпендикулярних напрямах.

Розглянемо два взаємно перпендикулярних коливання х і у:

де - початкова різниця фаз між коливанням. Очевидно,

.

Система рівнянь (33.1) у параметричній формі задає траєкторію руху тіла, що одночасно коливається у двох взаємно перпендикулярних напрямах. Визначимо рівняння траєкторії точки, що бере участь у цих коливаннях, в явному вигляді, виключивши час із рівняння (33.1). Для цього рівняння перепишемо так:

(33.2)

Додавши до лівої та правої частин (33.2) уявну частину isinna, отримаємо:

За формулою Муавра cos па + і sinпa = (cosa + і siпa)ⁿ .

Тому

Або (33.3).

Але

Тому, підставивши ці значення у формулу (33.3), матимемо:

(33.4).

Розкладаючи за біномом Ньютона вираз у квадратних дужках і прирівнюючи дійсні частини ліворуч і праворуч, отримуємо рівняння траєкторії коливної точки.

Зупинимося на окремому випадку коливань з однаковими частотами (п = 1). З формули (33.4) матимемо:

, (33.5)

Звідки

. (33.6)

Це рівняння сім'ї еліпсів, характеристики яких визначаються різницею фаз .

Розглянемо окремі випадки (рис.33.1, 33.2):

1. Нехай коливання відбуваються з однаковими фазами, тобто =0. Тоді рівняння (33.6) набуває вигляду:

, або , (33.7)

тобто еліпс переходить у пряму (див. рис.33.1).

Якщо різниця фаз = 3,14, то і в цьому випадку еліпс вироджується в пряму.

2. Якщо різниця фаз між коливаннями дорівнює , то рівняння (7) набуває вигляду:

, (33.8)

Отримали криву - еліпс, осі якого збігаються з осями координат (див. рис.33.2). Якщо амплітуди коливань однакові, еліпс вироджується в коло. Якщо n не дорівнює 1, за загальним видом рівняння, отриманого з формули (33.4), важко зробити висновок про форму траєкторії.

Нехай показник степеня n у рівнянні (33.4) є число раціональне, тобто воно може бути подане у вигляді відношення двох цілих n_y і n_x:

. (33.9)

Із системи рівнянь (33.1) випливає, що

,

де Т_х, - період коливань в напрямі осі х; Т_у - період коливань в напрямі осі У.

Отже, за проміжок часу t₁ точка здійснює n_у повних коливань в напрямі осі у і повних коливань в напрямі осі х.

Після проходження часу t₁ точка буде в тій самій фазі, що і в початковий момент; тобто за наступний проміжок часу коливання так само повторяться.

У результаті коливання будуть накладатись самі на себе і дадуть стійку картину (фігури Ліссажу). Якщо ж одне з чисел n_х або n_у ірраціональне, тобто n не може бути подане у вигляді відношення цілих чисел, то виникає додаткова різниця фаз, завдяки чому траєкторія руху точки неперервно змінюватиметься. Якщо частота одного з коливань відома, то за виглядом фігури Ліссажу визначають частоту іншого. Таке порівняння частот можна здійснити осцилографічним методом, подаючи на пластини горизонтального відхилення напругу з відомою частотою V_x а на вертикально відхиляючі - досліджувану напругу з частотою V_y. Нехай

, тоді

. (33.10)

Правило знаходження частот: проводять через дану фігуру дві довільні взаємно перпендикулярні прямі АВ і CD, паралельні осям х і у (рис.ЗЗ.З). Підраховують число точок перетину кривої з прямими CD і АВ. У випадку n_х=3 і n_у =1 (рис.33.3), тобто

.

Якщо пряма проходить через точку перетину віток кривої, при відліку її рахують двічі (така точка відповідає кратним кореням).

Порядок виконання роботи

1. Скласти схему за рис.33.4.

2. Увімкнути генератор розгортки осцилографа (ручка "Діапазон частот" в положення "Викл.") і встановити ручку підсилення за осями х і у на О.

З. Увімкнути в мережу звуковий генератор, осцилограф і генератор стандартних сигналів. Сфокусувати і вивести світлову пляму в центр координатної сітки.

4. Установити частоту генератора стандартних сигналів, задану викладачем.

5. Обертаючи ручку "Підсилення за віссю х”, добитися горизонтальної смужки в 1/2 шкали.

6. Обертанням ручки звукового генератора "Aмплітyдa" досягти появи на екрані фігур Ліссажу.

7. Обертаючи регулятор частоти звукового генератора, добитись стійкої фігури, яку слід зарисувати, і записати, при якій поділці регулятора частоти N вона спостерігається.

8. Визначити число точок перетину кривої й осями та за формулою (33.10) обчислити частоту, що відповідає даній поділці шкали.

9. Отримати і зарисувати не менше десяти найпростіших фігур Ліссажу, для кожної з яких записати значення N, п_х, п_у та знайти частоту.

10. Згідно з отриманими даними побудувати графік залежності .

11. Перевірити правильність градуювання шкали звукового генератора.

1) N = 2,7

n_x = 2

n_y = 5

2) N = 5

n_x = 1

n_y = 2

3) N = 8

n_x = 2

n_y = 3

4) N = 9

n_x = 3

n_y = 4

5) N = 11,7

n_x = 1

n_y = 1

6) N = 16,5

n_x = 2

n_y = 1

7) N = 18,6

n_x = 3

n_y = 1

8) N = 17,8

n_x = 5

n_y = 2

9) N =15

n_x = 3

n_y = 2

10) N =14

n_x = 4

n_y = 3

N	2,7	5	8	9	11,7	16,5	18,6	17,8	15	14
Vy	240	300	400	450	600	1200	1800	1500	900	800

Відповіді на Контрольні запитання

1. Яке коливання називається гармонічним?

Гармонічним називається коливання, в процесі яких зміщення х змінюється за законом косинуса (або синуса): x = x(t) = A·cos(ωt + φ₀)

2. Що називається періодом, частотою і фазою коливання?

Періодом називають тривалість одного повного коливання, тобто найменший проміжок часу, через який повторюється довільно обраний стан коливальної системи. За один період фаза коливання отримує приріст 2π:

Частотою коливання ν називають кількість повних коливань за одиницю часу:

3. Які фігури виникають в результаті додавання двох взаємно перпендикулярних коливань з однаковими частотами?

В результаті додавання двох взаємно перпендикулярних коливань з однаковими частотами отримують криві складної форми, що називаються фігурами Ліссажу, за видом яких можна визначити частоту досліджуваної напруги.

4. Чому одному і тому самому відношенню частот відповідає ряд фігур Ліссажу?

Одному і тому самому відношенню частот відповідає ряд фігур Ліссажу, тому що для кожної фігури різниця фаз може бути різна.

5. У чому полягає метод фігур Ліссажу, що застосовується для визначення частот коливання? Як за виглядом фігур Ліссажу можна визначити співвідношення частот?

Частоту невідомого гармонічного коливання часто визначають методом фігур Ліссажу. Для цього до досліджуваного коливання додаються взаємно перпендикулярні коливання відомої частоти. У загальному випадку в результаті додавання отримують криві складної форми, що називаються фігурами Ліссажу. Якщо частота одного з коливань відома, то за виглядом фігури Ліссажу визначають частоту іншого. Таке порівняння частот можна здійснити осцилографічним методом, надаючи на площини горизонтального відхилення напругу з відомою частотою ν_x, а на вертикально відхиляючі – досліджувану напругу з частотою ν_y.

6. Яку фігуру буде описувати тягарець математичного маятника, коли його штовхнути в момент проходження положення рівноваги в напрямі, перпендикулярному до швидкості? Що буде при такому самому поштовху, коли тягарець перебував у крайньому положенні?

Коли тягарець штовхнути в момент проходження положення рівноваги в напрямі, перпендикулярному до швидкості, то він буде описувати пряму, а при такому самому поштовху, коли тягарець перебував у крайньому положенні, то він буде описувати еліпс.

Задача 6-56

Амплітуда затухаючих коливань маятника за час t₁ = 5 хв. зменшилась в два рази. За який час t₂, рахуючи від початкового моменту, амплітуда зменшиться в вісім разів?

t₂ – ?

t₁ = 5 хв

2A(t₁) = A₀

2A(t₂) = A₀

Залежність амплітуди затухаючих коливань від часу:

A(t) = A₀·e^–δt

½·A₀ = A₀·e^–δt

½ = e^–δt

Та , як t₁=5 то:

1/8·A₀ = A₀·e^–δt

Відповідь: t₂ = 15 хв.