аннотированные планы ответов на вопросы по дисциплине «Дифференциальная геометрия и топология» программы государственного экзамена по специальности «Математика»

Пояснительная записка

Предлагаемые планы ответов являются аннотированными. В них перечислены понятия и факты, составляющие основное содержание соответствующих вопросов программы государственного экзамена. Необходимо уметь применять их для решения типовых задач по соответствующим дисциплинам. Студентам, претендующим на высокую оценку, необходимо также уметь доказывать, по меньшей мере, одну теорему из указанных в плане ответа (можно, например, провести доказательство теорем, подчеркнутых в тексте).

При подготовке к экзамену кроме конспектов лекций, практических и лабораторных занятий можно использовать рекомендуемую литературу.

Вопрос 2. Метрические и топологические пространства

№	Вопрос программы	Основные понятия, теоремы, факты	Навыки и умения
2	Метрические и топологические пространства	Открытые и замкнутые множества. Компактные пространства и множества. Критерий компактности множеств в евклидовых пространствах.	Использование свойств открытых и замкнутых множеств. Использование свойств компактных пространств и множеств.

План ответа

1. Метрические пространства: метрика на множестве и метрическое пространство; примеры метрических пространств (пространство ⁿ, пространство непрерывных на отрезке функций, дискретное метрическое пространство); открытое множество; натуральная топология метрического пространства.

2. Топологические пространства: топология на множестве и топологическое пространство; примеры топологических пространств (топологические пространства, порожденные метрикой на множестве, антидискретное пространство, дискретное пространство); сравнение топологий; открытое и замкнутое множества в топологическом пространстве; свойства замкнутых множеств; теорема о строении открытых и замкнутых множеств в пространстве ¹ (без доказательства).

3. Компактные пространства и множества: открытое покрытие топологического пространства; примеры компактных и некомпактных пространств; компактное подмножество топологического пространства; примеры компактных и некомпактных подмножеств топологических пространств; критерий компактности подмножества пространства ⁿ; свойства компактных пространств и множеств (непрерывный образ компактного пространства, прямое произведение компактных пространств, объединение конечной совокупности компактных множеств, пересечение любой совокупности компактных множеств в ⁿ).

Рекомендуемая литература

1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990. – 672с. (Часть 5. Топология)

2. Александрян Р.А, Мирзаханян Э.А. Общая топология. – М.: Высш.школа, 1979. – 336 с.

Вопрос 22. Элементы дифференциальной геометрии кривых и поверхностей

№	Вопрос программы	Основные понятия, теоремы, факты	Навыки и умения
22	Элементы дифференциальной геометрии кривых и поверхностей	Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Кривизна и кручение. Касательная плоскость и нормаль поверхности. Основные формы поверхности и их использование. Полная и средняя кривизны поверхности.	Составление уравнений элементов сопровождающего трехгранника кривой, касательной плоскости и нормали поверхности. Вычисление кривизны и кручения кривой. Использование основных форм для исследования свойств поверхностей.

План ответа

1. Сопровождающий трехгранник: касательная прямая и нормаль к кривой; достаточные условия существования и единственности касательной прямой; сопровождающий трехгранник пространственной кривой.

2. Кривизна и кручение: кривизна и кручение кривой в точке как мгновенная скорость вращения ее касательной прямой и, соответственно, бинормали в этой точке; формулы для вычисления кривизны и кручения гладкой параметризованной кривой; кривая нулевой кривизны; кривая нулевого кручения; основная теорема теории кривых (без доказательства).

3. Касательная плоскость и нормаль: касательная плоскость и нормаль поверхности; достаточные условия существования и единственности касательной плоскости и нормали.

4. Первая квадратичная форма и ее применения: первая квадратичная форма гладкой параметризованной поверхности; ее запись во внутренних координатах; вычисление дуги кривой, угла между кривыми, площади области на поверхности; понятие о внутренней геометрии поверхностей.

5. Вторая квадратичная форма: вторая квадратичная форма гладкой параметризованной поверхности; ее запись во внутренних координатах.

6. Полная и средняя кривизны: главные кривизны поверхности в точке; полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности в точке; их вычисление с помощью коэффициентов первой и второй квадратичных форм; теорема egregium Гаусса (без доказательства); эллиптические, гиперболические, параболические точки; строение поверхности в окрестности эллиптической (гиперболической, параболической) точки.

Рекомендуемая литература

1. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Наука, 1974. – 176с.

2. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990. – 672с. ( Часть 4. Дифференциальная геометрия)