ЭУМК_по_ДГ_и_Т / БЛОК 7 / БЛОК 7. Файл 2
.docx
Задачи к зачету по теме «Поверхности»
(с ответами)
1. Найти уравнение касательной плоскости к цилиндру х = cos v, y = sin v, z = u в произвольной точке кривой u = v.
Ответ: cos u + sin u = 1.
2. Найти уравнение нормали к цилиндру х = cos v, y = sin v, z = u в произвольной точке кривой u = v.
Ответ:
=
=
.
3. Найти уравнение касательной плоскости к эллипсоиду
+
+
= 1 в точке М (1; 2; 3).
Ответ: 6Х + 3У +2Z – 18 = 0.
4. Найти уравнение нормали к эллипсоиду
+
+
= 1 в точке М (1; 2; 3).
Ответ:
=
=
.
5. Будут ли поверхности z = tg xy и х2 – у2 = 1 ортогональными в точке их пересечения? Ответ обосновать.
Ответ: Да.
6. Найти уравнение касательной плоскости к конусу
х = ucos v, y
= usin v, z
= u в точке М (u
= 2, v =
).
Ответ: Х + У –
Z
= 0.
7. Найти уравнение и нормали к конусу
х = ucos v, y
= usin v, z
= u в точке М (u
= 2, v =
).
Ответ:
=
=
.
8. Выписать векторы
подвижного
базиса
гиперболического параболоида
x = u
+ v, y = u
– v, z = uv
в точке М (3; 1; 2).
Ответ: (1; 1; 1), (1; – 1; 2), (
;
–
;
).
11. Найти уравнение касательной
плоскости к поверхности z
=
,
параллельной плоскости Х + У +Z
– 1 = 0.
Ответ: Х + У +Z – 3 = 0.
12. Найти длину дуги кривой v
= lntg
между ее точками (
;
)
и (
;
)
на псевдосфере, заданной параметрическими
уравнениями
x = sinu
cosv, y=
sinu sinv,
z = lntg
.
Ответ: lntg
.
13. Найти гауссову и среднюю кривизны псевдосферы
x = sinu
cosv, y=
sinu sinv,
z = lntg
в точке A(
;
;
lntg
.
Ответ: K = – 1, H = 0.
14. Определить тип точки A(
;
;
lntg
псевдосферы
x = sinu
cosv, y=
sinu sinv,
z = lntg
.
Ответ обосновать.
Ответ: Гиперболическая точка.
15. Найти главные кривизны псевдосферы
x = sinu
cosv, y=
sinu sinv,
z = lntg
в точке A(
;
;
lntg
.
Ответ:
1.
16. Найти уравнение касательной плоскости псевдосферы
x = sinu
cosv, y=
sinu sinv,
z = lntg
в точке A(
;
;
lntg
.
Ответ: х + у –
+
lntg
= 0.
17. Найти уравнение нормали псевдосферы
x = sinu
cosv, y=
sinu sinv,
z = lntg
в точке A(
;
;
lntg
.
Ответ:
=
.
Замечание. При решении задач 12 – 17 применяются, в частности, следующие преобразования и формулы:
( lntg
)
=
(tg
)′
= … =
,
1 + ctg2u
= (sin2u)–1,
= lntg│
│+
const.