Автоматизация научных док-в / ЛАБЫ по TEX / Лабораторная работа №7 Конспект / Лабораторная работа №7 3

\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{center}
$\oint$6 Множество в пространстве, $R^n$ измеримое по Либегу.\\
 \end{center}
 Определение: Множество из $R^n$ называется Борелевским, если его можно получить из открытых множеств не более чем счетных операций \verb"\", $\bigcap$, $\bigcup$.\\
 Заметим, что открытое множество можно получить с помощью не более чем счётным числом операций \verb"\", $\bigcap$, $\bigcup$, открытых кубов, поэтому открытое множество, а следовательно и замкнутое множество, являются Борелевскими. \\
 Ввиду того, что кубы измеримы, а класс измерительных множеств является $\sigma$-алгеброй, а значит Борелевское множество является измеримым. Аналогично, открытые и замкнутые множества, замкнуты по Либегу. \\
 Следовательно в $R^n$ можно выделить следующие классы измеримых множеств:
 \begin{enumerate}
 \item Борелевское
 \item Открытое
 \item Замкнутое
 \item Счетное
 \end{enumerate}
 Если множества из классов 1),2),3) ограничены, то их мера - конечна, в противном случае - мера бесконечна.\\
 Утверждение: Любое измеримое по Либегу множество $R^n$ это объединение Борелевского множества и множества меры $\mu$.\\
 Легко можно понять, что мера любого счетного множества $R^1$ равняется нулю. \\
 Рассмотрим Канторово совершенное множество. Из отрезка $[0,1]$ удалим интервал $[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$. Полученное множество
 \begin{center}
 $A_1=[0,\frac{1}{3}]\bigcup[\frac{2}{3},1]$
 \end{center}
. Каждый из отрезков разобьем на три части и удалим среднюю часть. $(\frac{1}{9},\frac{2}{9})$, $(\frac{7}{9},\frac{8}{9})$

\begin{center}
 $A_2=[0,\frac{1}{9}]\bigcup[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]\bigcup[\frac{2}{3},\frac{7}{9}]\bigcup[\frac{8}{9},1]$
 \end{center}
На n-ом шаге получим множество
\begin{center}
 $A_n=[0,\frac{1}{3^n}]\bigcup...\bigcup[1-\frac{1}{3^n},1]$
 \end{center}
  которое состоит из $2^n$ отрезков длины $\frac{1}{3^n}$\\
Построенное множество обладает свойствами:\\
$A_1\supset A_2\supset A_3\supset ... \supset A_n\supset ...$\\
Определение: Канторовым совершенным множеством называется множество вида $K=\cap^\infty_{n=1}A_n$.\\
Оказывается, полученное множество К замкнуто и не имеет изолированных точек. С этой точки зрения множество К называется совершенным. Вычисл. меру этого множества\\
\begin{center}
$\mu_1(K)=\mu_1(\cap^\infty_{n=1})=\lim_{n\rightarrow\infty}\mu_1(A_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}2^n*\frac{1}{3^n}=0$
\end{center}
Таким образом канторово совершенное множество, это множество нулевой меры. Можно сказать, что канторово совершенное множество несчетно.\\
Пример: Пусть $s=\{z\in C| |z|=1 \}$\\
Введем отношение эквивалентности на сфере S. $z\sim\xi$ , если $\frac{z}{\xi}=e^{2\Pi i\Theta}$, $\Theta\in Q$. Данное отношение обладает свойствами симметричности, рефлексивности, трансзитивности, поэтому среда S разбивается на классы, которые не пересекаются между собой, либо совпадают. Классы смежности имеют вид:
\begin{center}
$\Omega=\{ze^{2\Pi i\Theta}:\Theta\in[0,1]\bigcap Q \}$
\end{center}
так как $[0,1]\bigcap Q=\{\Theta_1,\Theta_2,...,\Theta_n,... \}, \Theta_n\in Q$, то получим классы смежности $\Omega_n, n=1,2,...$ {} Из каждого класса $\Omega_n$ выберем по одной точке и объединим их в множество $\Phi_0$ и введем в рассмотрение множество
\begin{center}
$\Phi_n=\{\eta e^{2\Pi i\Theta}|\eta\in\Phi_0 \}$\\ то есть множество $\Phi_n$ получается поворотом множества $\Phi_0$ на угол.
\end{center}
\end{document}